【正文】 r: JianPing Gong ABSTRACT: In this paper, we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle. We limit ourselves to onedimensional models. We shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases, and discuss their physical implications. We study the motion of a particle in a “square potential” whose rapid spatial variation for certain values of x introduce purely quantum effects. We consider the quantum mechanics of a particle which encounters the potential step with 0EU? and 00 EU?? . We next study more plicated potential form, the rectangular potential barrier. We draw 2? as a function of x by numerical calculation. From this figure, we can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics. KEYWORDS ： Probability density。 晉 中 學(xué) 院 本科畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 題 目 勢阱中粒子運(yùn)動的能級和波函數(shù) 院 系 物理與電子工程學(xué)院 專 業(yè) 物理學(xué) 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 1 一維 勢壘 —— 一維散射中的幾率密度 摘 要 : 利用數(shù)值計(jì)算方法研究了粒子在一維“方形”勢壘中運(yùn)動時(shí)的粒子的幾率分布 ,并給出了幾率密度圖 .從這些圖我們可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”勢壘散射時(shí)的幾率分布情況 , 并討論了透 射系數(shù)、反射系數(shù)與勢壘寬度的關(guān)系 . 關(guān)鍵詞 :幾率密度 。 階梯勢 。 而當(dāng)粒子的初始動量 0p? 時(shí) ,粒子通過勢壘的方向正好相反 . 假設(shè)粒子是從左向右運(yùn)動的 , 其總能量 E 小于 mU . 于是在某一點(diǎn) 1x , 勢能1()U x E? , 1( ) 0Px? , 粒子將停止下來 . 它的全部動能轉(zhuǎn)化為勢能 , 因而運(yùn)動將向相反的方向進(jìn)行 :1x 是反轉(zhuǎn)點(diǎn) . 因此 , 當(dāng) mEU? 時(shí) ,從左邊來的粒子不能穿過勢能極大值的區(qū)域 0()xx? , 因而便不能進(jìn)入第二個(gè)區(qū)域 0xx? 去 . 相似地 , 如果粒子是從右向左運(yùn)動的 ,而且 mEU? , 則它便不能進(jìn)入第二個(gè)反轉(zhuǎn) 點(diǎn) 2x 后面的區(qū)域去 , 因?yàn)樵?2x 點(diǎn)上 2()U x E? (參閱圖 ). 因此對于所有能量小于 mU 的粒子來說 ,勢壘都是一個(gè)“ 不透明 ” 的壁壘 . 相反地 , 對于能量 大于 mU 的粒子 , 勢壘則是 “ 透明 ” 的 . 這也就說明了 “ 勢壘 ” 這個(gè)名稱的來源 . ()UxmEU?mEU?mEU?x0xO圖 一維勢壘 1x 2x數(shù)字與標(biāo)題間空一格 , 數(shù)字用 Times New Roman字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號均為三號 .居中 . 二級標(biāo)題級別為標(biāo)題 2,格式左對齊首行縮進(jìn) 2字符 (或 字符 ,與正文首行對齊即可 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號均為 四 號 ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 行 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1 行 ,段后空 行 . 三級標(biāo)題級別為標(biāo)題 3,格式左對齊首行縮進(jìn) 2字符 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用 宋體加粗 ,字號均為 小四 號 ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1行 ,段后空 . 四級標(biāo)題級別為標(biāo)題 4,格式左對齊首行縮進(jìn) 2字符 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用 宋 體 加粗 ,字號均為 小四 號 ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1行 ,段后空 .一般不要用四級 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 3 為了進(jìn)一步理解勢壘這個(gè)概念 , 我們想象一個(gè)質(zhì)量為 ? , 在圖 函 數(shù)作用下的粒子 . ()xl??? ? , ( ) 0Ux? , 0Ux? ?? , ()x x l??? ? ? ? ? ? ()2 mUU x l ??? ? ?, 2mUUx ?? ?? lx??? ? , mUU? , 0Ux? ?? , 在橫坐標(biāo)為 l ??? 和 ()x ???的兩個(gè)點(diǎn)之間 , 粒子受到一個(gè)力 F 的作用 , 此力的指向與Ox 軸的單位矢量 xe 相反 2m xU???Fe 在這個(gè)區(qū)域之外 , 勢能() mU x U? 或 ( ) 0Ux? 為一常數(shù) , 而力等于零 . 在 0t 時(shí)刻 ,以速度 0v , 在橫坐標(biāo)為 ()x ???的點(diǎn)處接近這一區(qū)域的粒子由于 F 的作用而減速 ,由此得運(yùn)動方程 ? ? ? ?20 0 0 ()4 mUx t t v t t l ???? ? ? ? ? ? ?, 只有當(dāng)方程 ? ? ? ?20 0 0 ()4 mUl t t v t t l????? ? ? ? ? ? ? ? ?, 具有實(shí)根時(shí) ,粒子才能到達(dá)橫坐標(biāo)為 ()l ??? 的點(diǎn) , 這就要求 2020 mvU? ? , 如果不是這樣 , 粒子的能量 E 小于 mU 2020 mE v U??? () 這個(gè)粒子就不可能到達(dá)勢能變化區(qū)的端點(diǎn) . 因而粒子要被反射回來 , 并重新 向反向運(yùn)動 . 使趨于零 ,而保持值不變 , 力就變的無限大 , 作用區(qū)變得無限薄 . 方程 ()所表示的結(jié)果依舊成立 , 因?yàn)樗c寬度無關(guān) . 量子力學(xué)方程 與邊界條件 如果我們談的是微觀粒子在微觀場中的運(yùn)動 , 也就是在談到不能略去量子效應(yīng)的()UxmUxl? O圖 一維勢壘粒子受力分析 ()l ??? exl ???論文中的公式統(tǒng)一用 Word 軟件中的公式編輯器書寫 .主要公式要按章統(tǒng)一進(jìn)行編號并與論文中的敘述一致 ,編號數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,右對齊 .未編號的公式要居中 .如單行公式行距采用固定值 22 磅 ,多行公式行距采用最小值 0 磅 . 為了頁面統(tǒng)一 ,所有正文內(nèi)容 (文字圖表均就在此線框內(nèi) ,最上 (下 )面的線及左右線與頁面標(biāo)志對齊 .注意要使內(nèi)容與橫線的內(nèi)側(cè)線對齊 ,如果首行為多行公式 ,應(yīng)在公式前插入一空行 ,此空行的行距為固定值 5 磅 .當(dāng)下端內(nèi)容與下面的內(nèi)側(cè)線有空白時(shí) ,要行當(dāng)調(diào)整本面中的行距使之對齊 .(另起一頁時(shí)除外 ) 二級標(biāo)題級別為標(biāo)題 2,格式左對齊首行縮進(jìn) 2字符 (或 字符 ,與正方首行對齊即可 ), 數(shù)字用Times New Roman 字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號均為 四 號 ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 行 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1 行 ,段后空 行 . 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 4 運(yùn)動時(shí) . 在勢壘附近發(fā)生的現(xiàn)象就完全不同了 .在這種情況下 , 與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論相反 , 能量 E 大于勢壘高度 mU 的粒子有一部分為勢壘反射 ,而能量小于 mU 的粒子也有一部分會穿過勢壘 . 在量子力學(xué)里 , 必須知道 波函數(shù) ? , 因此必須要解薛定諤方程 222 ()2i U xtx?? ????? ? ? () 一維散射問題是一個(gè)非束縛態(tài)問題 ( ()Ux與時(shí)間無關(guān) , 而 E 是正的 ).因此令 ( , ) ( ) Eitx t x e?? ?? () 由此得到 222 ()2 d U x Edx? ???? ? ? () 按照勢能 ()Ux的形式 , 方程 ()一般需要分成幾個(gè)部分求解 .將上式改寫成如下形式 2 22 0d kdx? ??? () 2 2 2 21122, ( ) [ ( ) ]k E k k n x E U x??? ? ? ? () 為了確定波函數(shù)要滿足的邊界條件 , 我們把 ()Ux和 ()nx 看作是 x 的緩變函數(shù) , 在圖 中 為方便 取 0l? , 于是 ,在 0x? 點(diǎn)附近對方程 ()求積分 , 我們得到 2 22 0d d x k d xdx??? ????????? 即 2 2212 ( ) 0d d x k n x d xdx??? ????????? 由此得 221( ) ( ) ( )k n x d x??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? () 當(dāng)取極限 0?? 時(shí) , 我們得到一個(gè)邊界條件 ( 0) ( 0)????? ? ? () 其次 , 根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性的普遍要求 ,我們有 第二 個(gè)邊界條件 : ( 0) ( 0)??? ? ? () 因?yàn)樵?0x? 點(diǎn)并沒有任何特殊之處 , 所以條件 ()和 ()在任一點(diǎn)都能得到滿足 . 實(shí)際上上述邊界條件在任何勢能函數(shù)躍變的地方均可以滿足 . 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 5 2 階梯 勢壘散射 模型 與 方程 本 章 中 ,我們將討論體系勢能在無限遠(yuǎn)處為有限的情況 ,這時(shí)粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn) ,波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處不為零 ,由于沒有無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的約束 ,體系能量可以取任意值 ,即能級組成連續(xù)譜 .這類問題屬于粒子被勢函數(shù)散射的問題 ,粒子從無限遠(yuǎn)處來 ,被勢場散射后又到無限遠(yuǎn)處去 .在這類問題中 ,粒子的能量是預(yù)先給定的 . 考慮在一維空間中運(yùn)動的粒子 ,它的勢能在有限區(qū)域 ? ?0 x? ?? 內(nèi)等于常量? ?000 ?UU ,而在 0x??? ? 區(qū)域內(nèi) 等于零 ,即 ? ?? ? 0 ,00 , 0U x U xU x x? ? ? ?? ? ? ? ? () 我們稱這種勢為階梯勢壘 ?圖 ?. 具有一定能量 E 的粒子由勢壘左方 ? ?0?x 向右方運(yùn)動 . 在經(jīng)典力學(xué)中 ,只有能量 E 大于 0U 的粒子才能越過勢壘運(yùn)動到 0x? 的區(qū)域 。 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) )工作的具體任務(wù)是： （一）培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的綜合能力； （二）深化所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力； （三）培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方法，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和實(shí)事求是的學(xué)風(fēng)； （四）對學(xué)生進(jìn)行科 學(xué)研究、技術(shù)實(shí)驗(yàn)的學(xué)術(shù)道德教育和學(xué)術(shù)政策教育。指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生課題進(jìn)展情況及時(shí)將有關(guān)審核意見填入《晉中學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)度表》（見附件 2）。 （二）指導(dǎo)教師要對學(xué)生的開題報(bào)告、文獻(xiàn)查閱、實(shí)驗(yàn)操作 (工藝制作 )、提綱擬訂、論文 (設(shè)計(jì) )的撰寫及其格式等及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)、幫助和檢查，每指導(dǎo)一個(gè)學(xué)生的工作量不少于 10 課時(shí)。 六、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的選題 （一）畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的選題必須符合本 科教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)要求，體現(xiàn)本專業(yè)基本訓(xùn)練內(nèi)容，同時(shí)要體現(xiàn)本專業(yè)科學(xué)研究和科學(xué)實(shí)踐的基本特點(diǎn)，有益于學(xué)生綜合運(yùn)用多學(xué)科的知識與技能，以培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的綜合能力和鉆研精神。命題和自選題目皆由教學(xué)學(xué)院備案。 （二）學(xué)生開 題時(shí)必須向開題論證小組闡明選題的目的和意義、該選題的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢、主要研究內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、完成論文的條件、方法及措施。在主體內(nèi)容前用 200500 字扼要介紹論文的主要內(nèi)容、采用的方法和得出的主要結(jié)論。論文（設(shè)計(jì)）字?jǐn)?shù)，文科不得少于 6000 字，理工科不得少于 5000 字。參考文獻(xiàn)一般來自正式出版的學(xué)術(shù)期刊、學(xué)術(shù)會議論文集、圖書、報(bào)紙及已完成的學(xué)位論文等。在論文主體中談到有關(guān)內(nèi)容時(shí)注明參看附錄。論文封皮要求使用 “晉中學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）