【正文】 ? ? ? ? ?, 只有當方程 ? ? ? ?20 0 0 ()4 mUl t t v t t l????? ? ? ? ? ? ? ? ?, 具有實根時 ,粒子才能到達橫坐標為 ()l ??? 的點 , 這就要求 2020 mvU? ? , 如果不是這樣 , 粒子的能量 E 小于 mU 2020 mE v U??? () 這個粒子就不可能到達勢能變化區(qū)的端點 . 因而粒子要被反射回來 , 并重新 向反向運動 . 使趨于零 ,而保持值不變 , 力就變的無限大 , 作用區(qū)變得無限薄 . 方程 ()所表示的結果依舊成立 , 因為它與寬度無關 . 量子力學方程 與邊界條件 如果我們談的是微觀粒子在微觀場中的運動 , 也就是在談到不能略去量子效應的()UxmUxl? O圖 一維勢壘粒子受力分析 ()l ??? exl ???論文中的公式統(tǒng)一用 Word 軟件中的公式編輯器書寫 .主要公式要按章統(tǒng)一進行編號并與論文中的敘述一致 ,編號數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,右對齊 .未編號的公式要居中 .如單行公式行距采用固定值 22 磅 ,多行公式行距采用最小值 0 磅 . 為了頁面統(tǒng)一 ,所有正文內(nèi)容 (文字圖表均就在此線框內(nèi) ,最上 (下 )面的線及左右線與頁面標志對齊 .注意要使內(nèi)容與橫線的內(nèi)側線對齊 ,如果首行為多行公式 ,應在公式前插入一空行 ,此空行的行距為固定值 5 磅 .當下端內(nèi)容與下面的內(nèi)側線有空白時 ,要行當調(diào)整本面中的行距使之對齊 .(另起一頁時除外 ) 二級標題級別為標題 2,格式左對齊首行縮進 2字符 (或 字符 ,與正方首行對齊即可 ), 數(shù)字用Times New Roman 字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號均為 四 號 ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標題下或位于本頁第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 行 ,如在文中位置時采用段前空 1 行 ,段后空 行 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 4 運動時 . 在勢壘附近發(fā)生的現(xiàn)象就完全不同了 .在這種情況下 , 與經(jīng)典力學的結論相反 , 能量 E 大于勢壘高度 mU 的粒子有一部分為勢壘反射 ,而能量小于 mU 的粒子也有一部分會穿過勢壘 . 在量子力學里 , 必須知道 波函數(shù) ? , 因此必須要解薛定諤方程 222 ()2i U xtx?? ????? ? ? () 一維散射問題是一個非束縛態(tài)問題 ( ()Ux與時間無關 , 而 E 是正的 ).因此令 ( , ) ( ) Eitx t x e?? ?? () 由此得到 222 ()2 d U x Edx? ???? ? ? () 按照勢能 ()Ux的形式 , 方程 ()一般需要分成幾個部分求解 .將上式改寫成如下形式 2 22 0d kdx? ??? () 2 2 2 21122, ( ) [ ( ) ]k E k k n x E U x??? ? ? ? () 為了確定波函數(shù)要滿足的邊界條件 , 我們把 ()Ux和 ()nx 看作是 x 的緩變函數(shù) , 在圖 中 為方便 取 0l? , 于是 ,在 0x? 點附近對方程 ()求積分 , 我們得到 2 22 0d d x k d xdx??? ????????? 即 2 2212 ( ) 0d d x k n x d xdx??? ????????? 由此得 221( ) ( ) ( )k n x d x??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? () 當取極限 0?? 時 , 我們得到一個邊界條件 ( 0) ( 0)????? ? ? () 其次 , 根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性的普遍要求 ,我們有 第二 個邊界條件 : ( 0) ( 0)??? ? ? () 因為在 0x? 點并沒有任何特殊之處 , 所以條件 ()和 ()在任一點都能得到滿足 . 實際上上述邊界條件在任何勢能函數(shù)躍變的地方均可以滿足 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 5 2 階梯 勢壘散射 模型 與 方程 本 章 中 ,我們將討論體系勢能在無限遠處為有限的情況 ,這時粒子可以在無限遠處出現(xiàn) ,波函數(shù)在無限遠處不為零 ,由于沒有無限遠處波函數(shù)為零的約束 ,體系能量可以取任意值 ,即能級組成連續(xù)譜 .這類問題屬于粒子被勢函數(shù)散射的問題 ,粒子從無限遠處來 ,被勢場散射后又到無限遠處去 .在這類問題中 ,粒子的能量是預先給定的 . 考慮在一維空間中運動的粒子 ,它的勢能在有限區(qū)域 ? ?0 x? ?? 內(nèi)等于常量? ?000 ?UU ,而在 0x??? ? 區(qū)域內(nèi) 等于零 ,即 ? ?? ? 0 ,00 , 0U x U xU x x? ? ? ?? ? ? ? ? () 我們稱這種勢為階梯勢壘 ?圖 ?. 具有一定能量 E 的粒子由勢壘左方 ? ?0?x 向右方運動 . 在經(jīng)典力學中 ,只有能量 E 大于 0U 的粒子才能越過勢壘運動到 0x? 的區(qū)域 。而能量 E 小于 0U 的粒子有可能被勢壘反射回來 ,但也有可能貫穿勢壘而運動到勢壘右邊 0x? 的區(qū)域中去 . 粒子的波函數(shù) ? 所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 ? ?22 2 ,02 d Exdx? ??? ? ? () 和 ? ?22 02 ,02 d U E xdx ? ???? ? ? ? () 或改寫成 ? ?2 222 0 , 0d Exdx?? ?? ? ? () 和 ? ? ? ?2 0222 0 , 0d E U xdx ?? ?? ? ? ? () ()Ux0UOx圖 一維階梯勢壘 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 6 下面我們分兩種情況分別進行討論 . 0EU? 的情況 現(xiàn)在令 ? ?221 2 022,k E k E U??? ? ? () 則得 ? ?2 212 0 , 0d kxdx? ?? ? ? () 和 ? ?2 222 0 , 0d kxdx? ?? ? ? () 容易得出方程 ()和 ()的解為 111 , ( 0 )i k x i k xA e A e x? ??? ? ? () 222 , ( 0 )i k x i k xB e B e x? ??? ? ? () 由 ()式可知 ,當 ()和 ()式中的波函數(shù) 1? 、 2? 乘上時間因子 Eite? 后 , 1? 、 2? 中的第一項 和 第二項 分別描述的 是由左向右傳播的平面 波 和 由右向左傳播的平面波 . 由于在 0x? 處的邊界條件并不足以確定 ()和 ()中的 4 個未知常數(shù) , 為確定這些常數(shù)我們假設粒子自左向右運動 .當 x 為很大的正值時 , 波函數(shù)應該描述越過 “ 壁頂 ” 并沿 x 軸的正方向運動的一個粒子 , 它的漸近形式必然是 22 , ( 0 )ik xB e x? ?? () 即取 0b?? . 由 0x? 處的邊界條件 : ? ? ? ? 0201 ?? ? xx ?? , () 0201?? ?????????????xx dxddxd ?? () 我們有 , ( 0)A A B x?? ? ? () 1 1 2 , ( 0)k A k A k B x?? ? ? () ()和 ()兩式給出透射波 和反射波振幅與入射波振幅之間的關系 如下 : 1212kkAA k k? ?? ? () 1122kBA k k? ? () 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 7 由這兩 式可以求出透射波和反射波的幾率密度與入射 波幾率密度之比 . 將入射波 1ikxAe 、透射波 1ikxBe 和反射波 1ikxAe?? 依次代換 下式 ? ?**2iJ ? ? ? ??? ? ? ? 中的 ? ,得入射波的幾率流密度為 ? ? ? ?1 1 1 1 212 i k x i k x i k x i k x**i d d kJ A e A e A e A e Ad x d x??????? ? ????? 透射波的幾率流密度為 22D kJB?? 反射波的 幾率流密度為 21R kJA? ??? 透射波的 幾率流密度與入射波的幾率流密度之比稱為透射系數(shù) ,以 D 表示 .這個比值也就 是貫穿到 0x? 區(qū)域的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目 ,與入射粒子 (在 0?x 區(qū)域 )單位時間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目之比 .由上面的結果 ,有 ? ?22 1 221 124DJ k B k kD J k A kk? ? ? ? () 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù) ,以 R 表示 .由上面結果 ,有 ? ?2122212411R AJ k kRDJkkA?? ? ? ? ? ?? () 由上兩式可見 ,D 和 R 都小于 1,D 和 R 之和等于 0x? 區(qū)域 ,另一部分被勢壘反射回去 .為畫出粒子分布的幾率密度圖 ,我們令入射波的振幅 1A? ,得到 1112112 , ( 0 )i k x i k xkke e xkk? ??? ? ?? () 212122 , ( 0 )i k xk exkk? ??? () 粒子的幾率密度分布 如 圖 所示 .要注意當 12kk? , 即 0 0U? 時 ,勢壘消失 ,因此 反射為零 ,透射系 數(shù) 1D? .此時 只有 入 射波而 沒有反射波 ,在 0x? 、 0x? 的區(qū)域粒子分布的幾率密度相同 ,如圖 所示 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 8 0EU? 的情況 此時我們只要令 22ki?? , ? ?2 0 222k E U i? ?? ? ? ? ?2022 UE?? ?? () 則我們得到 : 111 , ( 0 )i k x i k xA e A e x? ??? ? ? () 222 , ( 0 )xxB e B e x??? ? ?? ? ? () 由于當 x?? 時 ,波函數(shù)應該保持有限 ,所以應取 ()中的 0B?? .因此有 12kiAA k i??? ?? ? () 1122kBA k i?? ? () 此時反射系數(shù)為 : 2 2122121R AJ k iR J k iA ??? ?? ? ? ?? () 透射系數(shù)為 : 22 10DBJDRJA? ? ? ? ? () 與經(jīng)典力學不同的是 ,雖然透射系數(shù)為零 ,但在 0x? 區(qū)域找到粒子的幾率并不為零 .如果我們?nèi)?1A? ,則可將波函數(shù)寫作 : 1112112, ( 0 )i k x i k xkie e xki ?? ? ??? ? ?? () 圖 設 1 2k? , 2 2k? , 粒子幾率密度圖 . 圖 設 1 2k? , 2 1k? , 粒子幾率密度圖 . 對于兩個圖并排情況 ,注意兩圖要對齊 ,說明文字也要對齊 ,圖的版式采用上下型 . 晉中學院本科生畢業(yè) (設 計 )論文 9 212122 , ( 0 )xk exki ?? ? ???? () 從 ()可以看出雖然入射波與反射波的振幅相同 ,反射系數(shù)為 1,但由于 /AA? 為一復