大綱版高二數(shù)學(xué)下16762算術(shù)平均數(shù)幾何平均(修改稿12頁-22頁)-免費(fèi)閱讀
【正文】 ∵x＞0∴y≥2=10000。(13x)≤ 當(dāng)且僅當(dāng)3x=13x 即x=時，等號成立 ∴f(x)的最大值為解（1）法一 由+=1，得a= 又∵a＞0，b＞0 ∴b＞9且a＞1∴a+b=+b=(b9)++10≥2+10=16當(dāng)且僅當(dāng)，b9=，即b=12，a=4時取等號。應(yīng) 用 創(chuàng) 新1一個直角三角形，其周長定值2，求它的面積的最大值。方法規(guī)律：(1)對于實(shí)際應(yīng)用問題中的雜質(zhì)最少，材料最省，利潤最大，效率最高等問題一般都是先建立一個函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可利用均值不等式求最值或二次函數(shù)求最值或三角函數(shù)求最值，單調(diào)性求最值。解法2：設(shè)t=tanx，則cosx=y=abt y+bt = a (y+bt)2= a2 (1+t2)(a2b2)t22byt+(a2y2)=0……①由于t為實(shí)數(shù)，故①式中的判別式△≥0。 （2）設(shè)0≤x≤1，則y=xx3的最大值。（2）在函數(shù)表達(dá)式中，由于變量符號不確定，故需進(jìn)行討論，以便能正確使用均值不等式。錯解二：++ a+2b= a+++2b≥2+2錯因：由a=，=2b a=1，b=，但a+2b≠1正解：∵a+2b=1 ∴+=(+)( a+2b)=3++≥3+2∴當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時，等號成立，代入a+2b=1，得a=1，b=1，故+的最小值是3+2。b∈R+，且ab為定值，則有ab≥2=定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b取最小值。 *磨法石——核心知識歸納算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間到底有怎樣的大小關(guān)系呢？1．基本形式的不等式：（1）如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。例2：已知a、b∈R+，且a+2b=1，求+最小值。()2=當(dāng)且僅當(dāng)2b=12b時b=時等號成立∴b=時，+==6錯因：雖然b=時，b(12b)取最大，但此時分子1b并非取最小值，故和或積為定值不能只考慮部分，而需要考慮整體表達(dá)式。（3）∵令= x2= 3不可能∴等號不成立；只能利用函數(shù)的單調(diào)性解決，由≥2，而f (t)= t +在t∈[2，+∞]單調(diào)遞增，所以f (t)min= f (2)=2+=（4）由ab=a+b+3≥2+323≥0≥3；或由已知b==1+ ∵b＞0，∴a1＞0故：ab=a+= a++4=a1++5≥4+5=9例2 ：已知a、b、c∈R，求證：++≥ (a+b+c)解題規(guī)律：不等式兩邊一邊為無理式，另一邊為有理式則應(yīng)考慮將無理式轉(zhuǎn)化為有理式，即將根號里面變出完全平方，再開方，當(dāng)然≤也是一種化無理式為有理式的方法。證法1：x+y=(x+y)( +)=a+b+a+b≥a+b+2=證法2：可利用三角代換，由+=1的特點(diǎn)，可令=cos2θ，=sin2θ，則x=，y=
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