數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式-預(yù)覽頁
【正文】 的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時(shí)這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡(jiǎn)化．關(guān)鍵詞：考研數(shù)學(xué)不等式中值定理冪級(jí)數(shù)（作者簡(jiǎn)介：陳玉發(fā)，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究．郵編：450121）微分中值定理是微積分學(xué)中的一個(gè)重要定理，在研究生入學(xué)考試中，幾乎每年都會(huì)有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式就是其中一項(xiàng)。balnb lnalnblna lnalnblnalna219。baa219。219。1xlna，（1xb）a原命題得證．證明Ⅲ 利用冪級(jí)數(shù)展開：設(shè)b=a+x，原不等式等價(jià)于aa+xa (a+x)a219。(x)0，f(0)=0，證明對(duì)任何x10,x20，有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)． 證：不妨設(shè)x1x2，f(x1+x2)f(x1)+f(x2)219。(x1)f162。(x)單調(diào)遞減．原不等式得證．例3（1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）論證：當(dāng)x0時(shí),(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx證：(x1)lnx(x1)219。lnx+(x+1)x1，（x介于1與x之間）1lnx+0． 當(dāng)x1時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)0x1時(shí)，我們可以證明，x命題得證．例4（2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第三題）(15)設(shè)eabe2，證明lnblna22224(ba)． 2e4ln2bln2a4證：lnblna2(ba)219。f(b)f(a) 0219。(x)=xcosxsinx+p，f162。(x)單調(diào)減少，即f162。01解：因?yàn)閘nt[ln(1+t)]ntnlnt[ln(1+t)]n =tn=[ln(1+t)nln(1+t)ln(1+0)n]=[]（拉格朗日中值定理）tt0=()1，0xt1，1nx所以lnt[ln(1+t)]tlnt。例7（2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（18）題）1+xx2+cosx179。2sin222219。1e xxxexe0219。2x．證明：sinx+tanx179。sinx+tanx(sin0+tan0)179。cosx+sec2x179。也正是如此，數(shù)學(xué)歸納法在遇到不等號(hào)且一邊為常數(shù)時(shí)使用k→k+1的推理便不適用了，因?yàn)閗成立已推不出k+1成立，原因是等號(hào)是精確值，而不等式是范圍。重新證明: 1+1/4+1/9+……+1/（n*n），n=k時(shí)把1/n移右為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/n[1/(n+1)(n+1)+1/n]，由此第二步證明
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