數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式-文庫吧在線文庫
【正文】 1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a219。lna219。3：n！4：nn+1(n+1)n n！≥2n1 5：2！4！…(2n)?。?n+1)?。齨 6：對(duì)數(shù)不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n第三篇：大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法龍?jiān)雌诳W(wǎng) ://.大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法作者：吳瑩來源：《學(xué)園》2013年第01期【摘 要】不等式在科學(xué)研究中的地位很重要，但對(duì)不等式的證明有些同學(xué)無從下手，用什么方法是個(gè)難題，所以本文對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的不等式的各種證明方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并給出了相應(yīng)的例子。y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡單，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號(hào)相同且大于1)3：柯西不等式(∑ aibi)≤∑ai∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5。(x)0．這個(gè)想法看似簡單，而實(shí)際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個(gè)簡便的證明．證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abba219。blnaalnb219。a(1+而 xa)，aln2a2a=1+lnax+x+2!xlnnan+x+n!，xxa(a1)x2a(a1)(an+1)xn(1+)a=1+a+()++()+． aa2!an!aa(a1)(an+1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通過比較以上兩個(gè)級(jí)數(shù)可知原na不等式成立．對(duì)于不等式a(1+一下．例2（1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a設(shè)f162。162。2lnx2，(eaxbe2)xe219。162。10lnt+t)]dtn242。（柯西中值定理，其中0xx1），sinx+xx219。sinx+tanx179。=所以，原不等式成立．中值定理是證明不等式時(shí)常用的一個(gè)非常有效的工具．我們習(xí)慣于構(gòu)造輔助函數(shù)，利用單調(diào)性來證明不等式．而函數(shù)的單調(diào)性還是通過拉格朗日中值定理進(jìn)行證明的．因此，利用單調(diào)性證明不等式的基礎(chǔ)還是微分中值定理．以上幾例體現(xiàn)了中值定理在證明不等式時(shí)的效果．179。本方法關(guān)鍵在于選擇加減的數(shù)，使其從k到k+1時(shí)數(shù)會(huì)反而變小（小于）/變大（大于），只要做多兩題，到時(shí)候自然解決。證明：1+1/4+1/9+……+1/（n*n）=k(k為正整數(shù))時(shí)，等式成立，有1+1/4+1/9+……+1/（k*k）(當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到左邊加了一個(gè)大于0的數(shù)，但右邊沒有加，這是明顯證明不了的，這時(shí)方法就是在左邊減
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