數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式(專業(yè)版)
【正文】 也正是如此，數(shù)學(xué)歸納法在遇到不等號(hào)且一邊為常數(shù)時(shí)使用k→k+1的推理便不適用了，因?yàn)閗成立已推不出k+1成立，原因是等號(hào)是精確值，而不等式是范圍。1e xxxexe0219。(x)單調(diào)減少，即f162。(x)單調(diào)遞減．原不等式得證．例3（1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）論證：當(dāng)x0時(shí),(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx證：(x1)lnx(x1)219。219。3：n！nnn1 4：n(n+1)n！≥2n 5：2！4！…(2n)！｛(n+1)?。?：對(duì)數(shù)不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不說了（絕對(duì)的重點(diǎn)）9：（1+1/n）n(書上有，但這些重要極限需熟背如流)第二篇：大學(xué)中常用的不等式大學(xué)中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式?。?2+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0︱︱x︱︱y︱︱≤∣x177。 baa1162。f(x1+x2)f(x2)f(x1)f(x1+x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1+x2)(x2)x10219。f(b)f(a)0 ba219。1+，(1x1)．證明：xln1x2證：原不等式等價(jià)于：x2x[ln(1+x)ln(1x)]179。2 x0cosx+sec2x179。2 x219。10tnlnt。1xlnx2，2e因?yàn)閑axbe2，所以，xlnx=elnxe222． exee所以，原不等式成立．例5（2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（17）題）證明：當(dāng)0abp時(shí)，bsinb+2cosb+pbasina+2cosa+pa．證：令f(x)=xsinx+2cosx+pxbsinb+2cosb+pbasina+2cosa+pa219。162。balogab219。(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(01)6:(1+x)n≥1+nx(x1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常見的放縮(√是根號(hào))(均用數(shù)學(xué)歸納法證)1：1/23/4…(2n1)/2n√n。219。1，（柯西中值定理）x121
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