【正文】 ∴ AB = 39。O AB = 39。的圖形． 8 BAO 老師點(diǎn)評：繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， O 點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn) 30176。的圓心角所對的弧長為 L= 180nR? ， n176。的圓周角所對的弦是直徑及其 運(yùn)用． 5．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 6．直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和圓相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 及其運(yùn)用． 7．圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用． 8． 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問題． 9．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用． 10．兩圓的位置關(guān)系： d 與 r1和 r2之間的關(guān)系：外離 ? dr1+r2；外切 ? d=r1+r2；相交 ? │ r2r1│ dr1+r2；內(nèi)切 ? d=│ r1r2│；內(nèi)含 ? d│ r2r1│． 11．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目． 12． n176。、 60176。BAA39。39。 )O 39。O ( O 39。39。的圓周角所對的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn) 用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們口答下面兩個(gè)問題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評：（ 1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． （ 2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對的其余各組量都分別相等． 剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在 圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題． 二、探索新知 問題：如圖所示的⊙ O，我們在射門游戲中，設(shè) E、 F 是球門， 設(shè)球員們只能在 EF 所在的⊙ O 其它位置射門，如圖所示的 A、 B、 C 點(diǎn)．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠ EAF、∠ EBF、∠ ECF 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上， 并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題． 13 OBA C 1．一個(gè)弧上所對的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言． 老師點(diǎn)評： 1．一個(gè)弧上所對的圓周角的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè)． 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， 并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．” （ 1）設(shè)圓周角∠ ABC 的一 邊 BC是⊙ O的直徑，如圖所示 ∵∠ AOC 是△ ABO的外角 ∴∠ AOC=∠ ABO+∠ BAO ∵ OA=OB ∴∠ ABO=∠ BAO ∴∠ AOC=∠ ABO ∴∠ ABC=12 ∠ AOC （ 2）如圖，圓周角∠ ABC 的兩邊 AB、 AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ ABC=12 ∠ AOC嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程． 老師點(diǎn)評：連結(jié) BO 交⊙ O 于 D 同理∠ AOD 是△ ABO 的外角，∠ COD是△ BOC 的外角， 那么就有∠ AOD=2∠ ABO，∠ DOC=2∠ CBO，因此∠ AOC=2∠ ABC． （ 3）如圖，圓周角∠ ABC 的兩邊 AB、 AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ ABC=12 ∠ AOC嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 老師點(diǎn)評：連結(jié) OA、 OC，連結(jié) BO 并延長交⊙ O 于 D，那么∠ AOD=2∠ ABD，∠ COD=2∠ CBO，而∠ ABC=∠ ABD∠ CBO=12 ∠ AOD12 ∠ COD=12 ∠ AOC 現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角∠ AB′ C， 同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的． 從（ 1）、（ 2）、（ 3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． OBACDOBA CDww 14 OBACDww sx .co OBACDww 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90176。的圓周角所對的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓 周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (第 1 課時(shí) ) 教學(xué)內(nèi)容 1．設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離 OP=d，則有：點(diǎn) P 在圓外 ? dr；點(diǎn) P 在圓上 ? d=r；點(diǎn) P 在圓內(nèi) ? dr． 2．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 3．三角形外接圓及三角形的外心的概念． 4． 反證法的證明思路． 教學(xué)目標(biāo) 1．理解并掌握設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離 OP=d，則有：點(diǎn) P 在圓外 ? dr；點(diǎn) P 在圓上 ? d=r；點(diǎn) P 在圓內(nèi) ? dr 及其運(yùn)用． 2．理解不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓并掌握它的運(yùn)用． 3．了解三角形的外接圓和三角形外心的概念． 4．了解反證法的證明思想． 復(fù)習(xí)圓的兩種定 理和形成過程，并經(jīng)歷探究一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、 三個(gè)點(diǎn)能作圓的結(jié)論及作圖方法，給出不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．接下去從這三點(diǎn)到圓心的距離逐漸引入點(diǎn) P 到圓心距離與點(diǎn)和圓位置關(guān)系的結(jié)論并運(yùn)用它們解決一些實(shí)際問題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1． 重點(diǎn)：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的結(jié)論：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓其它們的運(yùn)用． 2．難點(diǎn)：講授反證法的證明思路． 3．關(guān)鍵：由一點(diǎn)、二點(diǎn)、三點(diǎn)、 四點(diǎn)作圓開始導(dǎo)出不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué) 生活動(dòng)）請同學(xué)們口答下面的問題． 16 1．圓的兩種定義是什么？ 2．你能至少舉例兩個(gè)說明圓是如何形成的？ 3．圓形成后圓上這些點(diǎn)到圓心的距離如何？ 4．如果在圓外有一點(diǎn)呢？圓內(nèi)呢？請你畫圖想一想． 老師點(diǎn)評：（ 1）在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫做圓；圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn) O 的距離等于定長 r 的點(diǎn)組成的圖形． （ 2）圓規(guī)：一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)定長畫圓． （ 3）都等于半徑． （ 4）經(jīng)過畫圖可 知，圓外的點(diǎn)到圓心的距離大于半徑； 圓內(nèi)的點(diǎn)到圓心的距離小于半徑． 二、探索新知 由上面的畫圖以及所學(xué)知識，我們可知： 設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離為 OP=d 則有：點(diǎn) P 在圓外 ? dr 點(diǎn) P 在圓上 ? d=r 點(diǎn) P 在圓內(nèi) ? dr 反過來，也十分明顯，如果 dr?點(diǎn) P 在圓外；如果 d=r?點(diǎn) P 在圓上；如果 dr?點(diǎn) P 在圓內(nèi)． 因此，我們可以得到： 這個(gè)結(jié)論的出現(xiàn)，對于我們今后解題、判定點(diǎn) P 是否在圓外、圓上、圓內(nèi)提供了依據(jù)． 下面，我們接下去研究確定圓的條件： （學(xué)生活動(dòng)）經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過二點(diǎn)只能作一條直線，那么，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾個(gè)圓？經(jīng)過二點(diǎn)、三點(diǎn)呢？請同學(xué)們按下面要求作圓． （ 1）作 圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn) A，你能作出幾個(gè)這樣的圓？ （ 2）作圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn) A、 B，你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)？與線段 AB 有什么關(guān)系？為什么？ （ 3）作圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn) A、 B、 C 三點(diǎn)（其中 A、 B、 C 三點(diǎn)不在同一直線上）， 你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？ 老師在黑板上演示： 設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓的距離為 d， 則有：點(diǎn) P 在圓外 ? dr 點(diǎn) P 在圓上 ? d=r 點(diǎn) P 在圓內(nèi) ? dr 17 （ 1）無數(shù)多個(gè)圓，如圖 1 所示． （ 2）連結(jié) A、 B，作 AB 的垂直平分線，則垂直平分線上的點(diǎn)到 A、 B 的距離都相等，都滿足條件，作出無數(shù)個(gè)． 其圓心分布在 AB 的中垂線上， 與線段 AB 互相垂直，如圖 2 所示． A lBA BACEDOGF (1) (2) (3) （ 3）作法：①連接 AB、 BC； ②分別作線段 AB、 BC 的中垂線 DE 和 FG， DE 與 FG 相交于點(diǎn) O； ③以 O 為圓心，以 OA 為半徑作圓，⊙ O 就是所要求作的圓，如圖 3 所示． 在上面的作圖過程中，因?yàn)橹本€ DE 與 FG 只有一個(gè) 交點(diǎn) O，并且點(diǎn) O 到 A、 B、 C 三個(gè)點(diǎn)的距離相等（中垂線上的任一點(diǎn)到兩邊的距離相等），所以經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓． 即： 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 也就是，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓． 外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心． 下面我們來證明：經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓． 證明：如圖，假設(shè)過同一直線 L 上的 A、 B、 C 三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為 P，那么點(diǎn) P 既在線段 AB 的垂直平分線 L1，又在線段 BC的垂直平分線 L2， 即點(diǎn) P 為 L1與 L2點(diǎn)，而 L1⊥ L， L2⊥ L，這與我們以前所學(xué)的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾． 所以，過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓． 上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓），由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到命題成立．這種證明方法叫做反證法． 在某些情景下，反證法是很有效的證明方法． 例 1．某地出 土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復(fù)制該瓷盤確定其圓心和半徑，請?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心． l2l1BA CP 18 分析：圓心是一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成，因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點(diǎn)就是我們所求的圓心． 作法：（ 1）在殘缺的圓盤上任取三點(diǎn)連結(jié)成兩條線段； （ 2）作兩線段的中垂線，相交于一點(diǎn)． 則 O 就為所求的圓心． 三、鞏固練習(xí) 教材 P100 練習(xí) 4． 五、歸納總結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評） 本節(jié)課 應(yīng)掌握： 1． 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離為 d，則 。 BD=10，求⊙ O 的半徑． 分析：（ 1）要說明 CD 是否是⊙ O 的切線，只要說明 OC 是否垂直于 CD，垂足為 C， 因?yàn)?C 點(diǎn)已在圓上． 由已知易得：∠ A=30176。 ∵∠ A=∠ OCA 且∠ DCB=∠ A ∴∠ OCA=∠ DCB ∴∠ OCD=90176。 ∴∠ BCD=30176。 又∵ TP 與 NP 分別為兩圓的切線， ∴∠ TPO=90176。 60176。 ∴∠ O2NB+∠ O1MA=90176。 ∵ O1M=O1A， O2N=O2B ∴∠ O1MA+∠ O2NB=12 180176。 =90176。 OA=12 AB247。≈ （