【正文】 使得 OA 與 O′A′重合． O ( O 39。AB重合，弦 AB 與弦 A′ B′重合 ∴ AB = 39。AB， AB=A′ B′ 理由：∵半徑 OA 與 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′ ∴半徑 OB 與 OB′重合 ∵點 A 與點 A′重合，點 B 與點 B′重合 ∴ AB 與 39。O AB = 39。． 二、探索新知 如圖所示，∠ AOB 的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角． BAO （學(xué)生活動）請同學(xué)們按 下列要求作圖并回答問題： 如圖所示的⊙ O 中，分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′將圓心角∠ AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到∠ A′ OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ B39。的圖形． 8 BAO 老師點評：繞 O 點旋轉(zhuǎn)， O 點就是固定點，旋轉(zhuǎn) 30176。、 45176。的圓心角所對的弧長為 L= 180nR? ， n176。 1 第二十四章 圓 單元要點分析 教學(xué)內(nèi)容 1．本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容． （ 1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角． （ 2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系， 圓和圓的位置關(guān)系． （ 3）正多邊形和圓． （ 4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積． 2．本單元在教材中的地位與作用． 學(xué)生在學(xué)習本章之前，已通 過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗．本章是在學(xué)習了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進一步來探索一種特殊的曲線──圓的有關(guān)性質(zhì)．通過本章的學(xué)習，對學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用．本章的學(xué)習是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習，尤其是圓錐曲線的學(xué)習的基礎(chǔ)性工程． 教學(xué)目標 1．知識與技能 （ 1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、 弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角 和圓心角的關(guān)系定理． （ 2）探索并理解點和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念， 探索切線與過切點的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線． （ 3）進一步認識和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計算． （ 4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用； 理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練掌握圓錐的側(cè)面積和全面積的計算． 2．過程與方法 （ 1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動． 了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公 式． （ 2）在教學(xué)過程中，鼓勵學(xué)生動手、動口、動腦，并進行同伴之間的交流． （ 3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中， 讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想． （ 4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系， 使學(xué)生明確圖形在運動變化中的特點和規(guī)律，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力． 2 （ 5）探索弧長、扇形的面積、 圓錐的側(cè)面積和全面積的計算公式并理解公式的意義、理解算法的意義． 3．情感、態(tài)度與價值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù) 學(xué)思考能力；通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗；利用現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望． 教學(xué)重點 1．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對的兩條弧及其運用． 2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， 所對的弦也相等及其運用． 3．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弧所對的圓心角的一半及其運用． 4．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 176。的圓周角所對的弦是直徑及其 運用． 5．不在同一直線上的三個點確定一個圓． 6．直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和圓相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 及其運用． 7．圓的切線垂直于過切點的半徑及其運用． 8． 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問題． 9．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運用． 10．兩圓的位置關(guān)系： d 與 r1和 r2之間的關(guān)系：外離 ? dr1+r2；外切 ? d=r1+r2；相交 ? │ r2r1│ dr1+r2；內(nèi)切 ? d=│ r1r2│；內(nèi)含 ? d│ r2r1│． 11．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個等量關(guān)系解決具體題目． 12． n176。的圓心角的扇形面積是 S 扇形 = 2360nR? 及其運用這兩個公式進行計算． 13．圓錐的側(cè)面積和全面積的計算． 教學(xué)難點 1．垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實際問題． 2．弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)， 并運用它解決一些實際問題． 3．有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運用． 4．點與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用． 5．三點確定一個圓的探索及應(yīng)用． 6．直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用． 3 7．切線的判定定理與性質(zhì)定理的運用． 8．切線長定理的探索與運用． 9．圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運用． 10．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 的關(guān)系的應(yīng)用． 11． n 的圓心角所對的弧長 L= 180nR? 及 S 扇形 ＝ 2360nR? 的公式的應(yīng)用． 12．圓錐側(cè)面展開圖的理解． 教學(xué)關(guān)鍵 1．積極引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動探索定理、 性質(zhì)、“三個”位置關(guān)系并推理證明等活動． 2．關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計算能力的培養(yǎng)與提高． 3．在觀察、操作和推導(dǎo)活動中，使學(xué)生有意識地反 思其中的數(shù)學(xué)思想方法， 發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語言表達能力． 24． 1 圓 第一課時 教學(xué)內(nèi)容 1．圓的有關(guān)概念． 2．垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題． 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂 徑定理，并輔以邏輯證明加予理解． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：垂徑定理及其運用． 2．難點與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題． 教學(xué)過程 一、復(fù)習引入 （學(xué)生活動）請同學(xué)口答下面兩個問題（提問一、兩個同學(xué)） 1．舉出生活中的圓三、四個． 2．你能講出形成圓的方法有多少種？ 4 老師點評（口答）：（ 1）如車輪、杯口、時針等．（ 2）圓規(guī)：固定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓． 二、探索新知 從 以上圓的形成過程，我們可以得出： 在一個平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點 O 叫做圓心，線段 OA 叫做半徑． 以點 O 為圓心的圓，記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 學(xué)生四人一組討論下面的兩個問題： 問題 1：圖上各點到定點（圓心 O）的距離有什么規(guī)律？ 問題 2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？ 老師提問幾名學(xué)生并點評總結(jié)． （ 1）圖上各點到定點（圓心 O）的距離都等于定長（半徑 r）； （ 2）到定點的距 離等于定長的點都在同一個圓上． 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距離等于定長 r 的點組成的圖形． 同時，我們又把 ①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段 AC， AB； ②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖 241 線段 AB； ③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以 A、 C 為端點的弧記作 AC ”，讀作“圓弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圓的弧 （如圖所示 ABC 叫做優(yōu)弧， 小于半圓的?。ㄈ鐖D所示） AC 或 BC 叫做劣?。? BA CO ④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． （學(xué)生活動）請同學(xué)們回答下面兩個問題． 1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？ 你能找到多少條對稱軸？ 2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流． （老師點評） 1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑， 我能找到無數(shù)多條直徑． 5 3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的． 因此，我們可以得到： 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線． （學(xué)生活動）請同學(xué)按下面要求完成下題： 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦，作直徑 CD，使 CD⊥ AB，垂足為 M． BACDOM （ 1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （ 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 ？說一說你理由． （老師點評）（ 1）是軸對稱圖形，其對稱軸是 CD． （ 2） AM=BM， AC BC? ， AD BD? ，即直徑 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 這樣，我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。? 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑 CD、弦 AB 且 CD⊥ AB 垂足為 M 求證： AM=BM， AC BC? ， AD BD? . 分析：要證 AM=BM，只要證 AM、 BM 構(gòu)成的兩個三角形全等．因此，只要連結(jié) OA、 OB 或 AC、BC 即可． 證明：如圖，連結(jié) OA、 OB，則 OA=OB 在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中 OA OBOM OM??? ?? ∴ Rt△ OAM≌ Rt△ OBM ∴ AM=BM ∴點 A 和點 B 關(guān)于 CD 對稱 ∵⊙ O 關(guān)于直徑 CD 對稱 BACOM 6 CEDOFBA CEDONM ∴當圓沿著直線 CD 對折時，點 A 與點 B 重合， AC 與 BC 重合， AD 與 BD 重合． ∴ AC BC? ， AD BD? 進一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? （本題的證明作為課后練習） 例 1． 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中 CD，點 O 是 CD的圓心， 其中 CD=600m，E 為 CD上一點，且 OE⊥ CD，垂足為 F， EF=90m，求這段彎路的半徑． 分析：例 1 是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方 法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握． 解：如圖，連接 OC 設(shè)彎路的半徑為 R，則 OF=（ R90） m ∵ OE⊥ CD ∴ CF=12 CD=12 600=300（ m） 根據(jù)勾股定理，得： OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（ R90） 2 解得 R=545 ∴這段彎路的半徑為 545m． 三、鞏固練習 教材 P86 練習 P88 練習． 四、應(yīng)用拓展 例 2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖 245 所示，正常水位下水面寬 AB= 60m，水面到拱頂距離 CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬 MN=32m 時是否需要采取緊急措施？請說明理由． 分析：要求當洪水到來時，水面寬 MN=32m 是否需要采取緊急措施， 只要求出 DE 的長，因此只要求半徑 R，然后運用幾何代數(shù)解求 R． 解：不需要采取緊急措施 設(shè) OA=R，在 Rt△ AOC 中， AC=30， CD=18 R2=302+（ R18） 2 R2=900+R236R+324 解得 R=34（ m） 連接 O