【正文】 使得 OA 與 O′A′重合． O ( O 39。AB重合，弦 AB 與弦 A′ B′重合 ∴ AB = 39。AB， AB=A′ B′ 理由：∵半徑 OA 與 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′ ∴半徑 OB 與 OB′重合 ∵點(diǎn) A 與點(diǎn) A′重合，點(diǎn) B 與點(diǎn) B′重合 ∴ AB 與 39。O AB = 39。． 二、探索新知 如圖所示，∠ AOB 的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角． BAO （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按 下列要求作圖并回答問(wèn)題： 如圖所示的⊙ O 中，分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′將圓心角∠ AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到∠ A′ OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ B39。的圖形． 8 BAO 老師點(diǎn)評(píng)：繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， O 點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn) 30176。、 45176。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 L= 180nR? ， n176。 1 第二十四章 圓 單元要點(diǎn)分析 教學(xué)內(nèi)容 1．本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容． （ 1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角． （ 2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系， 圓和圓的位置關(guān)系． （ 3）正多邊形和圓． （ 4）弧長(zhǎng)和扇形面積：弧長(zhǎng)和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積． 2．本單元在教材中的地位與作用． 學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通 過(guò)折疊、對(duì)稱(chēng)、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)識(shí)了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn)．本章是在學(xué)習(xí)了這些直線(xiàn)型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來(lái)探索一種特殊的曲線(xiàn)──圓的有關(guān)性質(zhì)．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹(shù)立分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用．本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （ 1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、 弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角 和圓心角的關(guān)系定理． （ 2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線(xiàn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線(xiàn)的概念， 探索切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線(xiàn)是否為圓的切線(xiàn)，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)． （ 3）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算． （ 4）熟練掌握弧長(zhǎng)和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用； 理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖并熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算． 2．過(guò)程與方法 （ 1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)． 了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公 式． （ 2）在教學(xué)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流． （ 3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過(guò)程中， 讓學(xué)生形成分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想． （ 4）通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系， 使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力． 2 （ 5）探索弧長(zhǎng)、扇形的面積、 圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、理解算法的意義． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù) 學(xué)思考能力；通過(guò)積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望． 教學(xué)重點(diǎn) 1．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其運(yùn)用． 2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦也相等及其運(yùn)用． 3．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半及其運(yùn)用． 4．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角， 90 176。的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其 運(yùn)用． 5．不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 6．直線(xiàn) L 和⊙ O 相交 ? dr；直線(xiàn) L 和圓相切 ? d=r；直線(xiàn) L 和⊙ O 相離 ? dr 及其運(yùn)用． 7．圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用． 8． 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)并利用它解決一些具體問(wèn)題． 9．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等， 這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角及其運(yùn)用． 10．兩圓的位置關(guān)系： d 與 r1和 r2之間的關(guān)系：外離 ? dr1+r2；外切 ? d=r1+r2；相交 ? │ r2r1│ dr1+r2；內(nèi)切 ? d=│ r1r2│；內(nèi)含 ? d│ r2r1│． 11．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目． 12． n176。的圓心角的扇形面積是 S 扇形 = 2360nR? 及其運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算． 13．圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算． 教學(xué)難點(diǎn) 1．垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問(wèn)題． 2．弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)， 并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題． 3．有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用． 4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用． 5．三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用． 6．直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用． 3 7．切線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用． 8．切線(xiàn)長(zhǎng)定理的探索與運(yùn)用． 9．圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用． 10．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 的關(guān)系的應(yīng)用． 11． n 的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) L= 180nR? 及 S 扇形 ＝ 2360nR? 的公式的應(yīng)用． 12．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的理解． 教學(xué)關(guān)鍵 1．積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、 性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng)． 2．關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高． 3．在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反 思其中的數(shù)學(xué)思想方法， 發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語(yǔ)言表達(dá)能力． 24． 1 圓 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓的有關(guān)概念． 2．垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題． 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸．通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂 徑定理，并輔以邏輯證明加予理解． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用． 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題（提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)） 1．舉出生活中的圓三、四個(gè)． 2．你能講出形成圓的方法有多少種？ 4 老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（ 1）如車(chē)輪、杯口、時(shí)針等．（ 2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長(zhǎng)度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓． 二、探索新知 從 以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出： 在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn) O 叫做圓心，線(xiàn)段 OA 叫做半徑． 以點(diǎn) O 為圓心的圓，記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題 1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 O）的距離有什么規(guī)律？ 問(wèn)題 2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？ 老師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié)． （ 1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑 r）； （ 2）到定點(diǎn)的距 離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上． 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn) O 的距離等于定長(zhǎng) r 的點(diǎn)組成的圖形． 同時(shí)，我們又把 ①連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，如圖線(xiàn)段 AC， AB； ②經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖 241 線(xiàn)段 AB； ③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，“以 A、 C 為端點(diǎn)的弧記作 AC ”，讀作“圓弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圓的弧 （如圖所示 ABC 叫做優(yōu)弧， 小于半圓的弧（如圖所示） AC 或 BC 叫做劣?。? BA CO ④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問(wèn)題． 1．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？ 你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸？ 2．你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流． （老師點(diǎn)評(píng)） 1．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直徑， 我能找到無(wú)數(shù)多條直徑． 5 3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題的． 因此，我們可以得到： 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題： 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦，作直徑 CD，使 CD⊥ AB，垂足為 M． BACDOM （ 1）如圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么？ （ 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 ？說(shuō)一說(shuō)你理由． （老師點(diǎn)評(píng)）（ 1）是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是 CD． （ 2） AM=BM， AC BC? ， AD BD? ，即直徑 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 這樣，我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑 CD、弦 AB 且 CD⊥ AB 垂足為 M 求證： AM=BM， AC BC? ， AD BD? . 分析：要證 AM=BM，只要證 AM、 BM 構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等．因此，只要連結(jié) OA、 OB 或 AC、BC 即可． 證明：如圖，連結(jié) OA、 OB，則 OA=OB 在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中 OA OBOM OM??? ?? ∴ Rt△ OAM≌ Rt△ OBM ∴ AM=BM ∴點(diǎn) A 和點(diǎn) B 關(guān)于 CD 對(duì)稱(chēng) ∵⊙ O 關(guān)于直徑 CD 對(duì)稱(chēng) BACOM 6 CEDOFBA CEDONM ∴當(dāng)圓沿著直線(xiàn) CD 對(duì)折時(shí)，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合， AC 與 BC 重合， AD 與 BD 重合． ∴ AC BC? ， AD BD? 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? （本題的證明作為課后練習(xí)） 例 1． 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中 CD，點(diǎn) O 是 CD的圓心， 其中 CD=600m，E 為 CD上一點(diǎn)，且 OE⊥ CD，垂足為 F， EF=90m，求這段彎路的半徑． 分析：例 1 是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方 法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握． 解：如圖，連接 OC 設(shè)彎路的半徑為 R，則 OF=（ R90） m ∵ OE⊥ CD ∴ CF=12 CD=12 600=300（ m） 根據(jù)勾股定理，得： OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（ R90） 2 解得 R=545 ∴這段彎路的半徑為 545m． 三、鞏固練習(xí) 教材 P86 練習(xí) P88 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖 245 所示，正常水位下水面寬 AB= 60m，水面到拱頂距離 CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬 MN=32m 時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由． 分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬 MN=32m 是否需要采取緊急措施， 只要求出 DE 的長(zhǎng)，因此只要求半徑 R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求 R． 解：不需要采取緊急措施 設(shè) OA=R，在 Rt△ AOC 中， AC=30， CD=18 R2=302+（ R18） 2 R2=900+R236R+324 解得 R=34（ m） 連接 O