北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87《空間向量及其運(yùn)算》-全文預(yù)覽
【正文】 － a1?2＋ ? b2－ b1?2＋ ? c2－ c1?2 基 礎(chǔ) 自 測 1. 已知向量 a ∥ 平面 β ，向量 a 所在直線為 a ，則 ( ) A ． a ∥ β B ． a β C ． a 交 β 于一點(diǎn) D ． a ∥ β 或 a β [ 答案 ] D [ 解析 ] a ∥ β ，則 a 所在直線 a 可能與 β 平行，也可能在β 內(nèi)． 2 ． ( 2020 6＝16， 解得 λ ＝ 1. 5 ．在四面體 O － ABC 中， OA→＝ a ， O B→＝ b ， OC→＝ c ， D為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)，則 OE→＝ ____________.( 用 a ，b ， c 表示 ) [ 答案 ] 12 a ＋ 14 b ＋ 14 c [ 解析 ] OE→＝ OA→＋12AD→＝ OA→＋1212( AB→＋ AC→) ＝ OA→＋14 ( OB→－ OA→＋ OC→－ OA→) ＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a ＋14b ＋14c . 6 ．已知 A ( 2,3 ，－ 1) ， B ( － 2,1,3) ，則與向量 AB→共線的單位向量是 ____________ ． [ 答案 ] ( － 23 ，－ 13 ， 23 ) 或 ( 23 ， 13 ，－ 23 ) [ 解析 ] AB→＝ ( － 4 ，－ 2,4) ， | AB→|＝ 6. ∴ 與 AB→共線且同向時(shí)，單位向量 e ＝AB→| AB→|＝ ( －23，－13，23) ，與 AB→共線且反向時(shí)，單位向量 e ＝－AB→| AB→|＝ (23，13，－23) ． 課堂典例講練 已知空間四邊形 OA BC ，其對角線為 OB 、 AC ，M 、 N 分別是邊 OA ， CB 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在線段 MN 上，且使MG ＝ 2 GN ，則用向量 OA→， OB→， OC→表示向量 OG→正確的是 ( ) 空間向量的線性運(yùn)算 A. OG→＝ OA→＋23OB→＋23OC→ B. OG→＝12OA→＋23OB→＋23OC→ C. OG→＝16OA→＋13OB→＋13OC→ D. OG→＝16OA→＋13OB→＋23OC→ [ 思路分析 ] 應(yīng)用空間向量的線性運(yùn)算把未知向量用已知向量表示． [ 規(guī)范解答 ] OG→＝ OM→＋ MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23( ON→－ OM→) ＝12OA→＋23(OB→＋ OC→2－OA→2) ＝16OA→＋13OB→＋13OC→. [ 答案 ] C [ 方法總結(jié) ] 空間向量的概念及運(yùn)算是由平面向量延伸而來的，要用類比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算中，要選擇適當(dāng)?shù)南蛄繛榛祝没蛄勘硎境鱿嚓P(guān)向量后再進(jìn)行向量的運(yùn)算，同時(shí)還要以相應(yīng)的圖形為指導(dǎo)． 已知 O 是空間中任意一點(diǎn) ， A ， B ， C ， D 四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且 OA→＝ 2 x BO→＋ 3 y CO→＋ 4 z DO→，則2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ ________ . [ 答案 ] － 1 [ 解析 ] ∵ A ， B ， C ， D 四點(diǎn)共面， ∴ OA→＝ m OB→＋ n OC→＋ p OD→， 且 m ＋ n ＋ p ＝ 1. 由條件知 OA→＝ ( － 2 x ) OB→＋ ( － 3 y ) OC→＋ ( － 4 z ) OD→， ∴ ( － 2 x ) ＋ ( － 3 y ) ＋ ( － 4 z ) ＝ 1. ∴ 2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝－ 1. 共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知 E 、 F 、 G 、 H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面； ( 2) 求證： BD ∥ 平面 EF GH ； ( 3) 設(shè) M 是 EG 和 FH 的交點(diǎn)， 求證：對空間任一點(diǎn) O ，有 OM→＝14( OA
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