北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87《空間向量及其運(yùn)算》-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 →＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 思路分析 ] 對(duì)于 ( 1) 只要證明向量 EG→可由向量 EF→和 EH→表示即可，對(duì)于 ( 2) 只要證明 BD 平行于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)即可，對(duì)于 ( 3) 由于四邊形 EF GH 為平行四邊形，所以 M 為 EG與 FH 的中點(diǎn)，于是向量 OM→可由向量 OG→和 OE→表示，再將 OG→與 OE→用 OC→， OD→和 OA→， OB→表示． [ 規(guī)范解答 ] (1) 連接 BG ，則 EG→＝ EB→＋ BG→＝ EB→＋12( BC→＋BD→) ＝ EB→＋ BF→＋ EH→＝ EF→＋ EH→， 由共面向量定理的推論知： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面． (2) 因?yàn)?EH→＝ AH→－ AE→＝12AD→－12AB→＝12( AD→－ AB→) ＝12BD→， 所以 EH ∥ BD ， 又 EH 平面 E FGH ， BD 平面 EFG H . 所以 BD ∥ 平面 EFG H . (3) 連接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 由 (2) 知 EH→＝12BD→， 同理 FG→＝12BD→， 所以 EH→＝ FG→， EH 綊 FG ， 所以 EG ， FH 交于一點(diǎn) M 且被 M 平分． 故 OM→＝12( OE→＋ OG→) ＝12OE→＋12OG→ ＝12????????12? OA→＋ OB→? ＋12????????12? OC→＋ OD→? ＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 方法總結(jié) ] 在求一個(gè)向量由其他向量來(lái)表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則，平行四邊形法則和共線(xiàn)向量的特點(diǎn)．如把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解．若要證明兩直線(xiàn)平行，只需判定兩直線(xiàn)所在的向量滿(mǎn)足線(xiàn)性 a ＝ λ b 關(guān)系．即可判定兩直線(xiàn)平行， 如第 ( 1) ( 2) 問(wèn)即是如此． 已知兩個(gè)非零向量 e1， e2不共線(xiàn)，如果 AB→＝ e1＋ e2， AC→＝2 e1＋ 8 e2， AD→＝ 3 e1－ 3 e2. 求證： AB→、 AC→、 AD→共面． [ 解析 ] 假設(shè)存在實(shí)數(shù) x ， y ， 使得 AD→＝ x AB→＋ y AC→， 即 3 e1－ 3 e2＝ x ( e1＋ e2) ＋ y (2 e1＋ 8 e2) ＝ ( x ＋ 2 y ) e1＋ ( x ＋ 8 y ) e2. ∴????? x ＋ 2 y ＝ 3x ＋ 8 y ＝－ 3， 解得????? x ＝ 5y ＝－ 1. ∴ 存在實(shí)數(shù) x ＝ 5 ， y ＝－ 1 使得 AD→＝ 5 AB→－ AC→， ∴ AB→， AC→， AD→共面 . 空間向量的模、夾角及數(shù)量積 已知空間中三點(diǎn) A ( － 2,0,2) ， B ( － 1,1,2) ， C ( －3,0,4) ， 設(shè) a ＝ AB→， b ＝ AC→. (1) 若 | c |＝ 3 ， 且 c ∥ BC→， 求向量 c ； (2) 求向量 a 與向量 b 的夾角的余弦值； (3) 若 k a ＋ b 與 k a － 2 b 互相垂直，求實(shí)數(shù) k 的值； (4) 若 λ ( a ＋ b ) ＋ μ ( a － b ) 與 z 軸垂直，求 λ ， μ 應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系． [ 思路分析 ] 本題考查空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則的應(yīng)用，根據(jù) a ＝ ( x1， y1， z1) ， b ＝ ( x2， y2， z2) ，則 a 177。 z2) ， a ( － 1,0,2) ＝－ 1 ， 又 |a |＝ 12＋ 12＋ 02＝ 2 ， | b |＝ ? － 1 ?2＋ 02＋ 22＝ 5 ， ∴ c os a ， b ＝a ( k a － 2 b ) ＝ k2a2－ k a | AC→|＝－ 2 ＋ 3 ＋ 614 14 ＝714＝12， ∴ sin AB→， AC→ ＝32， 所以以 AB→， AC→為鄰邊的平行四邊形的面積 S ＝ 2 12| AB→|
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