【正文】 [3] 裴禮文 . 數學分析中的典型問題與方法 [M]. 北京 : 高等教育出版社 , l993. [4] 韓應華，姚貴平等 . 微分中值定理的應用及推廣 [J].內蒙古農業(yè)大學學報， 2020,9 [5] 朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應用 [J]. 紹興文理學院學報， 2020,12 [6] 劉坤林，譚澤光 .大學數學概念、方法與技巧 [M].北京：清華大學出版社 ,2020, 6770． [7] 沈樹民．微積分解題分析上 [M].南京：江蘇科學技術出版社， 2020， 140. [8] 余慶紅 .中值定理的應用探討 [D].西安航空技術高等?？茖W校學報， 2020（ 25）： 3436. [9] 錢吉林 .數學分析題解精粹 [M]．武漢：崇文書局， 2020， 6183． [10] ． Curriculum Theory（ 2nd） [J]． Peacock Press， 1986， 66． [11] G ?xf 矛盾， 故結論得證。 （唯一性）反證法，假設有兩個實根 21,xx ，使得 ? ? ? ? 2211 , xxfxxf ?? 。 所以 ， 假 設不成立，即方程 ( ) 1 0f x x? ? ? 在 (0,1) 內有唯一實根。 ( ) 1f x f x x xf x x x x? ? ? ? ?? ? ? ???。 運用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關鍵在于：構造輔助函數，運用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式羅爾中值定理與連續(xù)函數的介值性等證明根的存在性。()fx有界，試證 ()fx在 ( , )ab 有界 證明： 任取 0 ( , )x ab? ，有拉格朗日中值定理知： 00( ) ( ) 39。 單調遞增，且 ?? 00?f ，所以 ? ? ? ??? 39。 證明 ：對任意的 21,xx ? ?a,0? ，且 21 xx? ，則 ??xf 在 ? ?1,xo 和 ? ?21,xx 上均滿足 拉格朗日中值定理，于是分別存在 ? ?1,0x?? ， ? ?21,xx?? 使 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?121239。 xx xfxff ???? ，且 ? 介于 21,xx 之間。 再利用 2()( ) ( ) 4bac a b c ?? ? ?， 即得所證。39。39。 證明： 若 ( ) 0fx? ，不等式顯然成立。 令 2bab ?? ，則有 ? ? ? ? ? ?422ab222 acbc ???????? ?? ， 所以，原題得證，即24）（ ac? ? ??ca dxxfM? 。 但 是 對于某些積分 上的 估值，可以采用 拉格朗日中值定理 中值定理來證明 。 例 8 若一正項級數 ? ?01 ????? aa nn n 發(fā)散， aaaa nn . . . . .321s ???? ，證明級數??? ?1n 1sann? （ ? 0）收斂。 12 例 7 證明調和級數 ?? ????? n131211 是否收斂 證明：可做輔助函數為 xxf ln)( ? ，在區(qū)間 )1( ?NN， 上符合拉格朗日中值定理的 要求。 證明：運用拉格朗日中值定理 ? ? ? ? 。 所以 91010 10)1( ???? nn ，其中 nn ??? ?1 ，當 ???n 時， ???? 。( )e f f?? ??? ?︱ ︱ =1。( )baee e f fba ? ??? ??? ︱ ︱。 例 4 設 ()fx 在 [, ]ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 內可導，且 ( ) ( ) 1f a f b??，試求, ( , )ab???? ，使得 ( ) 39。( ) ( )f x f x f x x?? ? ?。 ( )1 2 ( 1 )21 ( )1x x xxxxxx??? ? ????? 222 2 2 21 1 2 (1 )=01 1 (1 )xxx x x?? ?? ? ?。 綜上所得當 0 ??? 2? ， ???2cos? ?? tantan ? ???2cos?。 所以 ? ? ???? ，? ，使得 ? ? ? ? ? ?? ?????? ???? fff 。 對于證明不等式， 關鍵怎樣構造函數， 其后巧用拉格朗日中值定理， 畫龍點睛恰到好處。 證明：做輔助函數 ? ? ? ?ttf ?? 1ln 。39。39。如圖 ： （ 1）教材證法 從拉格朗日中值定理的條件與結論可見，若 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 兩端點的函數值相等，即 ? ? ? ?bfaf ? ，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理（如果函數 ??xf 滿足條件：??1 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ? ?ba, 內可導；（ 3） ? ? ? ?bfaf ? ,則在 ? ?ba, 內至少存在一點 ? ,使得 ? ? 039。而拉格朗日中值定理作為其中一個承上啟下的定理，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎上深入了解它的一些重要應用，這是十分必要的。 Convergence 6 拉格朗日中值定理的應用 引言： 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分學的重要的和基本的定理 ,所以統(tǒng)稱微分中值定理，以拉格朗日中值定理作為中心，它們之間的密切關系可用示意圖表示如下 ： 特例 推廣 以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，特別是拉格朗日中值定理。s mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the indepth summary. Keywords： Lagrange39。s mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems39。s mean value theorem Ren Wenlei (Class 2 Grade 2020 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University) Abstract： A group of mean value theorem which includes Rolle39。 中值定理的主要用于理論分析和證明，例如利用導數判斷函數單調性、凹凸性、取極值、拐點等項重要函數性態(tài)提供重要理論依據，從而把握函數圖像的各種幾何特征。總之，微分中值定理是溝通導數值與函數值之間的橋梁，是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的重要工具 。 中值定理的主要用于理論分析和證明，例如為利用導數判斷函數取極值、單調性、拐點、凹凸性等多項重要函數性態(tài)提供重要理論依據，從而可以把握函數圖像的各種幾何特征。 3 附：論文（設計） 本人簽名： 任雯蕾 2020 年 5 月 8 日 目 錄 中文摘要 ................................................................1 英文摘要 ................................................................2 引言 ....................................................................3 一、拉格朗日中值定理及其證明 .............................................3 ................................................................3 ...............................................................3 ...............................................................4 二、 拉格朗日中值定理的應用 ..............................................4 .....................................5 ..........................................6 求極限 .............................................7 ....................................8 ..............................................9 ..................................10 ................................12 三、結束語 ..........