【正文】 ，因為它有兩個零點 1,iixx? ，故可以將它表示成 1()ilx? 。 （ ） 我們先令 ()iilx=1，容易求出： ? ? 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i nc x x x x x x x x ???? ? ? ? ? （ ） 于是將 （ ）代入到（ ）中可得到 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )i i nii i i i i i nx x x x x x x xlx x x x x x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） 利用上述函數(shù) ()ilx，容易驗證出： 0( ) ( )nn i jjL x y l x??? （ ） 從而滿足插值條件： ()n i iL x y? ， 0,1 ,in? 存在性得證 其次證明 唯一性 ： 設 n 次多項式 ()nLx和 ()nQxLagrange 插值問題的解，則有表達式： ( ) ( ) ( )n i n i iL x Q x f x?? 0,1 ,in? 由該等式，可記 ( ) ( ) ( )nnG x L x Q x??，則有 ()nGx P? ，并且 ( ) 0iGx? ， 0,1 ,in? 即 ()Gx有 1n? 個零點， 由 高等代數(shù)上的基本知識點可知，如果一個 n 次代數(shù)多項式至少存在有 1n? 個根，則它的表達式一定恒為零，因此 ( ) 0Gx? ， 即 ( ) ( )nnQ x L x? 唯一性得證 線性插值和拋物線插值 線性插值 多項式 的定義 假定已知區(qū)間 ? ?01,xx 的端點處 的函數(shù)值為 00()y f x? ， 11()y f x? ， 并 要求線性插值多項式 1()Lx使它滿足以下兩個條件： 1 0 0()L x y? ， 1 1 1()L x y? 1()y L x? 的幾何意義是：通過兩個點 00( , )xy 和 11( , )xy 的直線，如圖 1所示 1()Lx的表達式可由幾何意義直接給出： 101 0 010( ) ( )yyL x y x xxx?? ? ?? （點斜式） 1y 011 0 10 1 1 0() xxxxL x y yx x x x?????? （兩點式） 0y 由兩點式方程可以看出： 0x 1x 1()Lx由兩個線性函數(shù) 1001()xxlx xx?? ? ， 0110()xxlx xx?? ? 的線性組合得到， （圖 1） 其中系數(shù)分別為 01,yy， 1()Lx 0 0 1 1( ) ( )l x y l x y??。 首先來證明 Lagrange 插值解的 存在性 。對()x? 的表達式求導，并使 ( ) 0??? ? 對（ ）求導可得： ( ) ( )( ) ( ) f b f ax f x ba? ????? ? 當 x ?? ， ( ) 0??? ? 時可得出 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ? 。利用范德蒙行列式可求解上述問題，然后得到滿足符合條件的多項式函數(shù)就是Lagrange 插值多項式。除開上述點以外，簡單連續(xù)函數(shù) ()x? 可以近似地 表示出函數(shù) ()fx。 關鍵詞 : 拉格朗日插值 公式 拉格朗日中值定理 函數(shù)逼近 數(shù)值算 法 區(qū)間性質 Lagrange interpolation and the application of the mean value theorem Abstract: This article in the introduction part introduces the Lagrange interpolation formula and the origin of the mean value theorem and the background, and gave the proof process. In the first part of the text introduces the Lagrange interpolation of problem in the approximation of function, and the definition of several simple interpolation, numerical calculation by Lagrange interpolation algorithms research its application in the approximation of function。 在 畢業(yè)設計及論文撰寫過程中，該同學態(tài)度端正，學習新知識能力較強，能按時完成預定的各項任務。例如一階導數(shù)與函數(shù)單調性關系，二階導數(shù)與函數(shù)凸性的關系。通過數(shù)值的近似計算算法去實現(xiàn)簡單的插 值運算，以及拉格朗日插值在資產評估中的實際應用。 語言表達流暢，格式完全符合規(guī)范要求；參考了豐富的文獻資料，其時效性較強；沒有抄襲現(xiàn)象。 能力 、綜合歸納資料的能力； ； 、研究方法和手段的運用能力； ； 。求函數(shù)極限 ,以及 研究 函數(shù)在區(qū)間上性質的應用 , 基本要求： 理解拉格朗日插值公式和中值定理的證明 熟練運用線性插值公式和拋物線插值公式 熟練運用拉格朗日中值定理解決函數(shù)極限與不等式證明問題 用拉格 朗日中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質 二、重點研究的問題 拉格朗日插值在實際生活中的應用 拉格朗日的數(shù)值計算算法編程 三、進度安排 序號 各階段完成的內容 完成時間 1 選題 12 月 25 日 2 收集并閱讀資料、文獻 1 月 15 號 — 3 月 6 號 3 分析討論題目，擬好提綱 3 月 7 號 — 3 月 25 號 4 編寫算法， 寫出初稿 3 月 26 號 — 4 月 15 號 5 修改初稿，寫出修改稿 4 月 15 號 — 4 月 30 號 6 寫出定稿 5 月 4 號 — 5 月 7 號 7 準備答辯 5 月 18 日 — 5 月 23 日 8 答辯 5 月 24 號 四、應收集的資料及主要參考文獻 [1]黃云清，舒適，陳燕萍，金繼承，文立平編著的《數(shù)值計算方法》 [2]由高等教育出版社 發(fā)行，由陳紀修，於崇華，金路編著的《數(shù)學分析》第二版上冊 [3]由 李慶揚，王能超，易大義編寫的《數(shù)值分析》第四版４版 . 武漢：華中科技大學出版社 ,2020 年 [4] 由李培明 編寫的《 .拉格朗日插值公式的一個應用 》 高等函授報（自然科學版） .1999 年第 3期 . [5] 由潘鐵 編寫的 淺談應用多項式的拉格朗日插值公式解題 中等數(shù)學報 .2020年第 10期 . [6] 由張可村，趙英良編寫的《數(shù)值計算算法與分析》 [M]科學出版社 2020 年 湘 潭 大 學 畢業(yè)論文（設計）評閱表 學號 2020750224 姓名 周維 專業(yè) 信息與計算科學 畢業(yè)論文（設計）題目： 拉格朗日插值及中值定理的應用 評價項目 評 價 內 容 選題 ，體現(xiàn)學科、專業(yè)特點和教學計劃的基本要求，達到綜合訓練的目的； 、份量是否適當； 與生產、科研、 社會 等實際 相 結合 。 文題完全相符，論點突出，論述緊扣主題。 在論文的第一部 分簡單的介紹了拉格朗日插值公式的適定性 ,并詳細的介紹了兩 種簡