【正文】 第二：在滿足條件可以變形之后，需要根據(jù)已知的題目設(shè)出合理的 ()fx 第三：驗(yàn)證所設(shè) ()fx是否滿足 Lagrange 中值 定理 第四：利用 ()fx? 滿足的不等式來證明原題中的不等式 下面列舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例題，用 Lagrange 中值定理證明不等式。 證：首先令 ( ) sinf x x? ，則 ( ) cosf x x? ? 利用 Lagrange 中值定理 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ? 就可將上述式子變成 sin sincos xyxy? ?? ? xy??? ? c o s ( ) s in s inx y x y? ? ? ? ?對(duì)上式左右兩邊取絕對(duì)值 c o s ( ) s in s inx y x y? ? ? ? ?即 c o s s in s inx y x y? ? ? ? ?同時(shí)由于 cos 1?? 所以原不等式成立 例題 2： 已知 0 ab??，求證 1 ln 1a b bb a a? ? ? ? 證：首先令 ( ) lnf x x? ，則 1()fxx? ? 由于 ()fx在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)，在開區(qū)間 (, )ab 上可導(dǎo)，所以 ()fx滿足Lagrange 中值定理的條件。 例題 1： lim (c o s 1 c o s )x xx?? ?? 證：首先令 ( ) cosf x t? ，當(dāng) 0t? 時(shí)，在區(qū)間 [ , 1]xx? 滿足 Lagrange 中值定理的條件。 由于函數(shù) ()fx的二階導(dǎo) 數(shù) 在區(qū)間 [ , ]a a x?? 或 [ , ]a x a?? 上是連續(xù)的，所以()fx? 在區(qū)間 [ , ]a a x?? 或 [ , ]a x a?? 也是連續(xù)的，所以 ()fx? 滿足 Lagrange 中值定理的條件。（特別的，對(duì)于 ( , )x? ?? ?? ，都有 ( ) 0fx? ? ，我們稱其為嚴(yán)格單調(diào)遞增） 由 Lagrange 中值定理： 設(shè) 12,xx為區(qū)間 ( , )???? 上任意兩點(diǎn)，且 12xx? ，則有 1221( ) ( )() f x f xf xx? ?? ? ? 由于 210xx??， ()f ?? 和 12( ) ( )f x f x? 是同符號(hào)的，所以當(dāng) ( ) 0f ?? ? 或( ) 0f ?? ? 時(shí)，同樣存在 12( ) ( ) 0f x f x??或 12( ) ( ) 0f x f x??。則可知道， ()fx是單調(diào)遞增或者是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。所以對(duì)于任意的一個(gè) ( , )kx ? ?? ?? （ kxx? ）， 有： ( ) ( ) 0kkf x f xxx? ?? 由保序性，當(dāng) kxx? 時(shí)， 有 ( ) 0fx? ? 必要性得證 例題 1： 證明不等式 2 ln( 1 ) , 02xx x x x? ? ? ? ? 令 ( ) ln(1 )f x x??,且在 (0, )?? 上連續(xù)且可導(dǎo) ,則用 Lagrange 中值定理有 : (1 ) (1)() 11f x ff x? ??? ? ?? ? 1 (1 ) (1)1x f x f? ? ? ?? 再令 2( ) ln (1 ) ( )2xg x x x? ? ? ?( 0)x? 對(duì) ()gx求導(dǎo) : 21( ) (1 ) 011 xg x xxx? ? ? ? ? ??? 故 ()gx是 (0, )?? 上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。 接下來我們研究二階導(dǎo)數(shù)與凸性之間究竟存在著什么樣的關(guān)系。則 ()fx在區(qū)間 ( , )???? 上是下凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)于任意一個(gè) x? ( , )???? ，都有 ( ) 0fx?? ? 恒成立。反復(fù)使用上式結(jié)果，則可以推導(dǎo)出： 由于 22( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )n n n nf x x f x x f x x f x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ( ( 1 ) ) ( )nnf x n x f x n x? ? ? ? ? ?11( ) ( )f x f x? ? ? 所以式子可以化成 2 2 1 1( ( ) ) ( ) ( ) ( )()nnf x x f x f x x f xxx? ? ? ? ? ? ??? ? ? ()fx在點(diǎn) 12,xx處是可導(dǎo)的。因此 ()fx的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間( , )???? 上是非負(fù)數(shù)的。 然后 證明充分性： 如果 ( ) 0fx?? ? ， ( , )x? ?? ?? ，則 ()fx的一階導(dǎo)數(shù)在 ( , )???? 上是單調(diào)遞增的。使得12(1 )kx x x??? ? ? ，這個(gè)式子的意義是 kx 能表示區(qū)間 12( , )xx 的任意一個(gè)點(diǎn)。 結(jié)束語(yǔ) 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中 ,Lagrange 插值公式與 Lagrange 中值定理 扮演著一個(gè)重要的角色， 在經(jīng)過了近一兩個(gè)月的探索中 ,我已經(jīng) 熟練的掌握了 Lagrange 插值公式與Lagrange 中值 定理，并結(jié)合其 去 解決 生活中的一些 數(shù)學(xué) 問題 。 這也需要我們更多的去學(xué)習(xí)以及挖掘出公式的實(shí)際應(yīng)用。 int n。 float F(float *,float *,float,int)。x,amp。 printf(F(%f)=%f,x,F(X,Y,x,n))。 return 0。 printf(請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) :)。 printf(\n 請(qǐng)輸入各個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo) :\n)。i*n。 } printf(\n 請(qǐng)輸入插值點(diǎn) X=)。 } float F(float *X,float *Y,float x,int n) { int i,j。 for(i=0。i++) { Lx=1。jn。 } Fx=Fx+Lx*(*(Y+i))。 } 附錄 2： 開 始 輸入 x,y,n,i,j,F,L i=0,F=0 L=1 j=0 ji? * (( ) / ( ))j i jL L x x x x? ? ? j=j+1 jn Y N Y * iF F L y?? i=i+1 in??? Y 輸出 F 結(jié) 束 N 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。對(duì)本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。 作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文 的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 ：任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁(yè)以上的雙面打印 4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁(yè)面上 5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 1）設(shè)計(jì)（論文） 2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3）其它 指導(dǎo)教師評(píng)閱書 指導(dǎo)教師評(píng)價(jià)： 一、撰寫（設(shè)計(jì)）過程 學(xué)生在論文（設(shè)計(jì)）過程中的治學(xué)態(tài)度、工作精神 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 學(xué)生 掌握專業(yè)知識(shí)、技能的扎實(shí)程度 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和專業(yè)技能分析和解決問題的能力 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 研究方法的科學(xué)性；技術(shù)線路的可行性；設(shè)計(jì)方案的合理性 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 完成畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）期間的出勤情況 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、論文（設(shè)計(jì)） 質(zhì)量 論文（設(shè)計(jì)）的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 是否完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、論文（設(shè)計(jì)）水平 論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 論文（設(shè)計(jì)說明書）所體現(xiàn)的整體水平 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建議成績(jī)： □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所選等級(jí)前的□內(nèi)畫“√”） 指導(dǎo)教師： （簽名） 單位： （蓋章） 年 月 日 評(píng)閱教師評(píng)閱書 評(píng)閱教師評(píng)價(jià)： 一、論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量 論文（設(shè)計(jì)）的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 是否完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、論文（設(shè)計(jì)）水平 論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 論文（設(shè)計(jì)說明書）所體現(xiàn)的整體水平 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建議成績(jī)： □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所選等級(jí)前的□內(nèi)畫“√”） 評(píng)閱教師： （簽名） 單位： （蓋章） 年 月 日 1 教研室（或答辯小組）及教學(xué)系意見 教研室（或答辯小組）評(píng)價(jià)： 一、答辯過程 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的基本要點(diǎn)和見解的敘述情況 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 對(duì)答辯問題的反應(yīng)、理解、表達(dá)情況 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 學(xué)生答辯過程中的精神狀態(tài) □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量 論文（設(shè)計(jì)）的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 是否完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、論文（ 設(shè)計(jì)）水平 論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 □ 優(yōu) □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ □ 優(yōu) □