第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答-全文預(yù)覽
【正文】 ??? ?． 3． 求一個(gè)二次多項(xiàng)式 )(xp ，使得 )()(2 2xxpx ??? ． 解：設(shè) xxf 2)( ? ，則 2ln2)( xxf ?? ， 2)2(ln2)( xxf ??? ． 2)2( l n)0(,2ln)0(,1)0( ?????? fff ， 故 )(!2 )2(l n!1 2ln12 222 xxxx ????? ， 則 222 )2(l n2ln1)( xxxp ??? 為所求 ． 4． 利用泰勒公式求極限 )]11ln([lim 2 xxxx ????． 解：因?yàn)? ))1((3 )1(2 )1(1)11l n ( 332 xoxxxx ????? ， 所以 )11ln(2 xxx ?? = )])1((3 )1(2)1(1[ 3322 xoxxxxx ???? = )1(3121 xox ?? ， 故 21)]1(3121[l i m)]11l n([l i m 2 ?????????? xoxxxx xx． 5． 設(shè) )(xf 有三階導(dǎo)數(shù) ,且 0)1(,0)(lim20 ??? fx xfx,證明在)1,0( 內(nèi)存在一點(diǎn) ? ,使 0)( ???? ?f ． 證明： 因?yàn)? 0)(lim20 ?? xxfx，所以 0)0(,0)0(,0)0( ?????? fff ． 9 由麥克勞林公式得：332 !3 )(!3 )(!2 )0()0()0()( xfxfxfxffxf ?? ?????????????? （ ? 介于 0 與 x 之間）， 因此 !3 )()1( ?ff ???? ，由于 0)1( ?f ，故 0)( ???? ?f ． 167。( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) , 0f x f f x x??? ? ? ? ?, 即 0s inc o ss in ??? ??xxxx ( ???x0 ) 因此 ， 當(dāng) ???x0 時(shí)， xx x cossin ? ． （２） 當(dāng) 0??ba 時(shí) ， b babaa ba ???? ln ． 證明 ： 設(shè) xxf ln)( ? ，則函數(shù)在區(qū)間 [, ]ba 上滿足 拉格朗日中值定理得條件，有 39。 微分中值定理 1． 填空題 （１） 函數(shù) xxf arctan)( ? 在 ]1 ,0[ 上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的ξ是???4． （２） 設(shè) )5)(3)(2)(1()( ????? xxxxxf ， 則 0)( ?? xf 有 3 個(gè)實(shí)根，分別位于區(qū)間 )5,3(),3,2(),2,1( 中 ． 2． 選擇題 （１） 羅爾定理中的三個(gè)條件 : )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()( bfaf ? ，是 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使 0)( ???f 成立的 （ B ） ． A． 必要條件 B． 充分條件 C． 充要條件 D． 既非充分也非必要條件 （２） 下列函數(shù)在 ]1 ,1[? 上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是 （ C ）． A. xexf ?)( B. ||)( xxf ? C. 21)( xxf ?? D. ????????0 ,00 ,1s in)(xxxxxf 2 （３） 若 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 21 xx、 是 ),( ba 內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn) ? ，使下式成立 （ B ） ． A． ),()()()()( 2112 bafxxxfxf ????? ?? B． ?? )()()()( 2121 fxxxfxf ???? 在 12,xx之間 C． 211221 )()()()( xxfxxxfxf ?????? ?? D． 211212 )()()()( xxfxxxfxf ?????? ?? 3． 證明 恒等式： )(2c ota rc t a n ??????? xxar cx ?． 證明 ： 令 xa r cxxf c o ta r c ta n)( ?? ， 則 01 11 1)(22 ?????? xxxf，所以 )(xf 為一常數(shù) ． 設(shè) cxf ?)( ， 又因?yàn)?(1) 2f ?? ， 故 )(2c ota rc t a n ??????? xxar cx ?． 4． 若函數(shù) )(xf 在 ),( ba 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且)()()( 321 xfxfxf ?? ，其中 12a x x?? 3xb??，證明 :在 ),( 31 xx 內(nèi)至少有一點(diǎn) ? ，使得 0)( ??? ?f ． 證明 ： 由于 )(xf 在 ],[ 21 xx 上連續(xù) ,在 ),( 21 xx 可導(dǎo) ,且)()( 21 xfxf ? ， 根據(jù)羅爾定理知 ， 存在 ),( 211 xx?? ， 使0)( 1 ???f ． 同理存在 ),( 322 xx?? ， 使 0)( 2 ???f ． 又 )(xf? 在 ],[ 21??上 符合羅爾定理的條件 ， 故有 ),( 31 xx?? ， 使得 0)( ??? ?f ． 5． 證明 方程 0621 32 ???? xxx 有且僅 有一個(gè)實(shí)根 ． 3 證明 ： 設(shè) 621)( 32 xxxxf ???? ， 則 031)2(,01)0( ?????? ff ，根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一個(gè) )0,2(??? ， 使得0)( ??f ． 另一方面 ， 假設(shè)有 ),(, 21 ?????xx ，且 21 xx ? ，使0)()( 21 ?? xfxf ，根據(jù)羅爾定理，存 在 ),( 21 xx?? 使 0)( ???f ，即 0211 2 ??? ?? ， 這與 0211 2 ??? ?? 矛盾．故方程 0621 32 ???? xxx只有一個(gè)實(shí)根． 6． 設(shè)函數(shù) )(xf 的導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ],[ ba 上連續(xù) ， 且0)(,0)(,0)( ??? bfcfaf ， 其中 c 是介于 ba, 之間 的一個(gè)實(shí)數(shù) ． 證明 ： 存在 ),( ba?? , 使 0)( ???f 成立 . 證明 ： 由于 )(xf 在 ],[ ba 內(nèi)可導(dǎo)，從而 )(xf 在 閉區(qū)間 ],[ ba 內(nèi)連續(xù) ， 在開區(qū)間 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)． 又因?yàn)? ) 0, ( ) 0f a f c??，根據(jù) 零點(diǎn)存在 定理 ， 必 存在 點(diǎn) 1 ( , )ac?? ，使得 0)( 1 ??f ． 同理 ， 存在點(diǎn) 2 ( , )cb? ? ，使得 0)( 2 ??f ． 因此 ()fx在 ? ?21,?? 上 滿足羅爾定理 的條件， 故 存在),( ba?? ， 使 0)( ???f 成立 ． 7. 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ]1,0[ 上連續(xù) , 在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo) . 試證 :至少存在一點(diǎn) (0,1)?? , 使 ( ) 2 [ (1) ( 0) ].f f f??? ?? 證明 ： 只需令 2)( xxg ? ，利用 柯西中值定理即可證明 . 4 8． 證明 下列不等式 （１） 當(dāng) ???x0 時(shí)， xx x cossin ? ． 證明 ： 設(shè) ttttf cossin)( ?? ， 函數(shù) )(tf 在區(qū)間 ],0[ x 上滿足 拉格朗日中值定理的條件，且 tttf sin)( ?? , 故39。 洛畢達(dá)法則 1． 填空題 （１） ?? xxx 3cos5coslim2?35? （２） ????? xxx arctan)11ln(lim 0 （３） )tan11(lim20 xxxx ??=31 （４）0lim(sin )xx x?? ?1 ２ ． 選擇題 （
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