【正文】 際收益的關(guān)系為 前頁 結(jié)束 后頁 求銷售量為 30時(shí)的總收益，平均收益與邊際收益。 10Q ?解 由 2100 4QC ?? 1004QCQ?? 2QC??前頁 結(jié)束 后頁 令 得 邊際成本 于是當(dāng) 時(shí) 10Q ?總成本 125)10( ?C平均成本 )10( ?C5)10( ??C 2100Q??Q 為多少時(shí)，平均成本最小 ? 例 3 在例 1中，當(dāng)產(chǎn)量 解 ?C41?3200CQ?0?C 2 400Q ? 20Q ?0)20( ??C所以 ,當(dāng) Q = 20時(shí)平均成本最小。 0?y 先作出函數(shù)在 內(nèi)的圖形，然后利用對稱性作出區(qū)間 內(nèi) 的圖形，如圖 (0, )??( , 0)??o 前頁 結(jié)束 后頁 ?21y?xy?y 0 (0， 1) 1 （ 1， +∞） 0 － － 0 + 極大值)21( 1 , e?拐點(diǎn)列表討論如下 其中 ， ； 21 ?? 1 ?e?前頁 結(jié)束 后頁 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 函數(shù)的變化率 ——邊際函數(shù) 定義 1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)， )( xfy ? x邊際函數(shù)值。 前頁 結(jié)束 后頁 例 5 作函數(shù) 的圖形。 11?? xy解 所以 是曲線的一條鉛直漸近線。 有些向無窮遠(yuǎn)延伸的曲線 ， 越來越接近某一直線的趨勢 ， 這種直線就是曲線的漸近線 。 解 令 ，得 ， 12 34 ??? xxy23 64 xxy ??? 2, 1 2 1 2 1 2 ( 1 )y x x x x?? ? ? ? ?列表如下 ?0?0?0???y 1 , 0 21 ?? xx)1,0( ),1( ??)0,(?? 10)1,0()0,1(()fx??()fx有拐點(diǎn) 有拐點(diǎn) x前頁 結(jié)束 后頁 可見 ,曲線在區(qū)間 內(nèi)為凹的，在區(qū)間 內(nèi)為凸的，曲線的拐點(diǎn)是 和 . ),1( , )0,( ????)1,0()1,0( )0,1( 如果函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)在點(diǎn) 的二階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，如果在點(diǎn) 某空心鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在且在 的兩側(cè)符號(hào)相反，則點(diǎn) 是拐點(diǎn)；如果兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，則點(diǎn) 不是拐點(diǎn) . )(xf 0x 0x0x ))(,( 00 xfx))(,( 00 xfx0x綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點(diǎn)的步驟可歸納如下： （ 1）求一階及二階導(dǎo)數(shù) ， （ 2）求出 及 不存在的點(diǎn)； )(xf? )(xf ??)(xf? )(xf ??前頁 結(jié)束 后頁 （ 3） 以 （ 2） 中找出的全部點(diǎn) ， 把函數(shù)的定義域分成若干部分區(qū)間 ， 列表考察 在各區(qū)間的符號(hào) ， 從而可判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸與拐點(diǎn) 。 )( xfy ? xxf ta n)( ??x)(xfy ?)(xf?( ) t a nf x x? ?x )(xf?M1 x 1? 2?M2 y o M1 x y o M2 前頁 結(jié)束 后頁 定理 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 （ 1）如果 ∈ 時(shí)，恒有 ，則曲線 在 內(nèi)為凹的； （ 2）如果 ∈ 時(shí)，恒有 ，則曲線 在 內(nèi)為凸的。 ),( ba )(xf?這些值中最大的就是函數(shù)在 上的最大值 , ],[ ba],[ ba上的最大值與最小值是全局性的概念 , 函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba如下幾類點(diǎn)的函數(shù)值得到： 前頁 結(jié)束 后頁 上的最大值和最小值。 )(xf?(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值 ,得函數(shù)的全部極值 . 前頁 結(jié)束 后頁 例 4 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值 . 32 )1()1()( ??? xxxf解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),( ????223 )1()1(3)1)(1(2)( ??????? xxxxxf)15()1)(1( 2 ???? xxx0)( ?? xf ,11 ??x ,512 ?x 13 ?x令 ,得駐點(diǎn) 這三個(gè)點(diǎn)將定義域 分成四個(gè)部分區(qū)間，列表如下 極大值 ,3125345651 ???????f 極小值 0)1( ?ff ( x )+00+0+f 180。 0x0)( ?? xf0xx ?0xx ? 0)( ?? xf)(xf0)( ?? xf0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 如圖所示： 在 ， ),( 00 xx ??0)( ?? xf在 ， ),( 00 ??xx0)( ?? xf在 取得極小值。 從圖中可看出 ,極小值不一定小于極大值，如圖中 D點(diǎn)是極小值， A點(diǎn)是極大值。 前頁 結(jié)束 后頁 ab1x 3x 5x2x 4xA B C D E 極值是局部的，只是與鄰近點(diǎn)相比較而言。(x) + 0 0 + f(x) 前頁 結(jié)束 后頁 解 函數(shù)的定義域 且在定義域內(nèi)連續(xù) ),( ????例 3 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。 但原極限是存在的，可用下法求得 前頁 結(jié)束 后頁 3．其它型不定式 未定式除 00 和 ?? 型外，還有 ?1000???0??? 型 、 型 、 等五種類型。 )()( afbf ?xxg ?)(三個(gè)中值定理的關(guān)系 前頁 結(jié)束 后頁 如果在某極限過程下 ,函數(shù) f ( x)與 g(x)同時(shí)趨于零或者同時(shí)趨于無窮大，通常把 的極限稱為未定式的極限，洛必達(dá)法則就是解決這類極限的工具。 中值定理 洛必達(dá)法則 函數(shù)的單調(diào)性與極值 函數(shù)圖形的描繪 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 結(jié)束 第 3章 中值定理、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 前頁 結(jié)束 后頁 定理 1 設(shè)函數(shù) 滿足下列條件 )(xf)()( bfaf ?(3) (1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba(2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo) 。 ?()y f x?MABba ?To xy( ) ( )() f b f afba??? ??即 前頁 結(jié)束 后頁 內(nèi)可導(dǎo)， ),( ba 上連續(xù)； ],[ ba定理 3 Cauchy中值定理 則在區(qū)間 內(nèi)定有點(diǎn) ),( ba ?)()()()()()(agbgafbfgf???????使得 柯西中值定理 設(shè)函數(shù) 與 滿足如下條件： ()fx )(xg前頁 結(jié)束 后頁 Rolle定理是 Lagrange定理的特例 : 在 Lagrange中值定理中如果 則 Lagrange中值定理變成 Rolle定理； Cauchy定量是 Lagrange定理的推廣 在 Cauchy中值定理中如果 ， 則 Cauchy化為 Lagrange中值定理。 00x ??例 4 求 xxx 1a r c t a n2lim?????解 22221a r c t a n12li m li m li m 111 1x x xx xxxxx?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 前頁 結(jié)束 后頁 2． 型不定式． ??的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件 ( 1 ) li m ( ) li m ( )x a x af x g x?? ? ? ?( 2 ) ( )fx? 與 ()gx?在該鄰域內(nèi)都存在，且 ( ) 0gx? ?()( 3 ) lim ( )()xafx Agx?? ??? 有 限 或則 ( ) ( )lim lim( ) ( )x a x af x f xg x g x?????定理 2 設(shè)函數(shù) ()fx ()gx xa?與 在點(diǎn) 前頁 結(jié)束 后頁 例 5 求 xxx 3t a nt a nlim2??解 : xxxxxx 3s e c3s e clim3t a nt a