【正文】 一、拉格朗日中值定理及其證明 ： 若函數(shù) ??xf 滿足如下條件： ??1 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)；則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使 ? ? ? ? ? ?ab afbff ????39。 ： 函數(shù) ? ?xfy? 在區(qū)間 ? ?ba, 上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧 ?AB 上至少有一點(diǎn) C ，曲線在 C 點(diǎn)的切線平行于 弦 AB 。 ??f ）。所以，我們只須對函數(shù) ??xf 作適當(dāng)變形，便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理 . 證明：作輔助函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?f b f aF x f x xba??? ? 8 顯然，函數(shù) ??xF 滿 足在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)，而且? ? ? ?F a F b? ．于是由 羅爾 中值定 理知道 ，至 少存在 一點(diǎn) ? ? ?ba ??? ，使? ? ? ? ? ? ? ? 039。 ????? ab afbffF ?? .即 ? ? ? ? ? ?ab afbff ????39。因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn) ? ?ba,?? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? 039。 ????? ab afbff ??? ，即 ? ? ? ? ? ?ab afbff ????39。 證明不等式 例 1 當(dāng) x? 0 時(shí)，證明 xx?1 ? ? ? xx ??1ln 。 函數(shù) f ??t 在定義域 ? ???，1 上可導(dǎo)，故對于 x? 0,有 ? ? ? ?ttf ?? 1ln 在閉區(qū)間 ? ?x，0 上連續(xù)，在開區(qū)間 ? ?x，0 上可導(dǎo)。 當(dāng) x 0時(shí)，有???? 11 xxx x?，即 xxxx ???? ?11， 又當(dāng) 0?x 時(shí)，有 ? ? xxfxx ???1 ， 9 所以 xx?1 ? ? ? xx ??1ln 得證。 例 2 已知 0 ??? 2? ，證明 ???2cos? ?? tantan ? ???2cos?。 由于函數(shù) ? ? xxf tan? 在 ?????? 20?，上連續(xù)可導(dǎo)，且 ? ? xxf2cos1??， 于是當(dāng) 0? ? 2? 時(shí)， ??xf 在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 即滿足拉格朗日中值定理的條件。 ?有????? 2c o sta nta n ???（ 1）。 綜合（ 1）、（ 2）可得 ???2cos ?? tantan ? ???2cos成立。 拉格朗日定理的應(yīng)用使本題簡化了計(jì)算量，對于構(gòu)造函數(shù)也比較簡單，其優(yōu)勢表現(xiàn)的淋漓盡致。 證明： 令212( ) a r c t a r c c o s ( 1 )2 1 4xx g x xx ?? ? ? ? ??， 10 則在 ( 1)x? 時(shí)22arccos1 xx?有意義，且 22 2 2221 1 1 1 ( 1 ) 2 239。 在 1x? 時(shí)， ()xc??（為常數(shù)）。 由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點(diǎn) 12,xx ，（不妨設(shè) 12xx? ）有2 1 2 1( ) ( ) 39。那么若 39。( ) 0f ?? ，所以21( ) ( )f x f x? ，由 12,xx 的任意性可知， ()fx在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。( )e f f?? ??? ?︱ ︱ =1. 證明 ：令 ( ) ( )xF x e f x? ， 則 ()Fx在 [, ]ab 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件， 故存在 ( , )ab?? ，使得 ( ) ( ) ( ) 39。 由條件 ( ) ( ) 1f a f b??，可得 ( ) 39。 再令 () xxe?? ， 則 ()x? 在 [ , ]ab 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件。( )e e f f?? ????︱ ︱即 ( ) 39。 用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應(yīng)用中很重要的一項(xiàng)，證明的目標(biāo)在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機(jī)會應(yīng)用。 解：分母是兩式相減的情形，可構(gòu)造 10)( xxf ? ， 9/ 10)( xxf ? ， 易知函數(shù)在區(qū)間 )1( nn ，? 上是符合定理?xiàng)l件的。 所以 ? ?101101 9910109 limlim ???? ?????? ?nnn n xn。 例 6 證明如果函數(shù) ??xf 在 R 上可導(dǎo)，極限? ? ? ? ? ? 0l i ml i ml i mx ??? ????????? xfxfxf xx 都存在，則極限與 。則設(shè) AxfAxf xx ??? ?????? 1, l i ml i m 于是有 ? ? ? ? ? ??xfxfxf ???? 1。 由此 ? ? ? 0lim ????? xfx。 則存在一點(diǎn) )1( ?? NN，? ，使NNN 11ln)1ln ( ???? ?。 在級數(shù)斂散性的判別問題上，可以構(gòu)造輔助函數(shù)，研究在 )1( ?NN， 各個(gè)區(qū)間上的特點(diǎn)，最后相加可以進(jìn)行化簡，利用級數(shù)斂散性的判別法則給出判斷。 證明：做輔助函數(shù) ? ? xxf?1?，則有 ? ?xxf ???? 1， 當(dāng) 2?n 時(shí) 在 閉 區(qū) 間 ? ?snn ,s 1? 上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 到 ? ? ? ? ? ? ),( 111 ssss ss nnnnnnnn fff ????? ??? ??， ?????????? ???? ?? ssaannnn ???? ?? 1111n 11ns于是有 。 對于 證明估值問題 ，尤其是二級或者二級以上的導(dǎo)函數(shù)估值， 一般情況下 通常 選用泰勒公式證明比較簡便 。 13 例 9 設(shè)導(dǎo)函數(shù) ??xf? 在 ? ?ca, 上連續(xù)，且有 ? ? ? ? 0?? bfaf ，記 M=max 設(shè)設(shè)導(dǎo)函數(shù) f′ (x)在 [a,c]上連續(xù)且 f(a) = f(b) = 0, 記 M = ? ?xfcxa ???max。 證明 : 對任意的 b ∈ [a,c], 由拉格朗日中值定理可知 : ? ? ? ?? ??ca ca dxxfdxxf= ? ? ? ? ? ? ? ?dxxfcfdxafxf cbca ?? ??? = ? ? ? ? Mdxxcfdxaxf cbba ?????? ?? 21 ?? ? ? ? ? ?????? ???? ?ba cb dxxcdxax = ? ? ?????? ??? 22 )( 22 bcabM 。 例 10 設(shè) 39。()fx︱ dx ? 4ba? ()fx︱ ︱ 。 若 ()fx 不恒等于零， ( , )c a b?? 使 ()fx︱ ︱ = ()fc ，在 ( , )ac 及 [,]ac 上分別用拉氏中值定理，有 12( ) ( )39。( ) ,f c f cffc a c b?????? 從而得： 112239。( ) 39。( ) 39。( )ab f x d x f x d x f x d x????? ? ?︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱139。 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( )f f f c b ab c a c??? ? ? ? ??︱ ︱ ︱ ︱。 14 數(shù)性態(tài) 若 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)，則在 ? ?ba, 上 ? ? ? ? ? ?? ?039。 , 其中 0?M為常數(shù)，則 ??xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù) . 證明 ： ? ????? , 21 axx ，在以 21,xx 為端點(diǎn)的區(qū)間上， 有 ? ? ? ? ? ?121239。 再利用已知條件，有 ? ? ? ? 1212 xxMxfxf ??? 即 ??xf 在 ? ???,a 上滿足 Lipschitz 條件， 則 ??xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù)。 單調(diào)遞增，且 ?? 00?f ，則函數(shù) ??xxf 在 ? ?a,0 上單調(diào)遞增。1139。 由于 ??xf39。39。 （ 3） 有界性 15 例 13 設(shè)在 (, )ab 內(nèi) ()fx 可導(dǎo)且 39。( ) ( )f x f x g x x?? ? ?（ ? 在 0,xx 之間）， 可得： ()fx︱ ︱ ? 0()fx︱ ︱ +｜ )(39。( )fx在 (, )ab 內(nèi)的界，有︱ ()fx ︱ M? ， 即 ()fx 在 (, )ab 內(nèi)有界。 例 14設(shè) ()Fx 在 [0,1] 上可導(dǎo)，且 0 ( ) 1,fx??對于 (0,1) 內(nèi)的所有點(diǎn) x ，有( ) 1,fx?? 證明方程 ( ) 1 0f x x? ? ? 在 (0,1) 內(nèi)有唯一實(shí)根。 唯一性：設(shè)方程 ( ) 1 0f x x? ? ?