數(shù)量金融投資組合選擇merton問題-全文預(yù)覽
【正文】 1axu x b b???????? ? ??????20 期望效用理論 Certainty equivalent 隨機變量 x的 Certainty equivalent C滿足 當(dāng) u(.)為凹函數(shù)時 ， C ≤ E[x]。 風(fēng)險厭惡系數(shù) （ risk aversion coefficient） ArrowPratt absolution risk aversion coefficient ( [ ] ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ,u E y u x E u x E u y? ? ?()()()uxaxux?????18 期望效用理論 常見風(fēng)險厭惡效用函數(shù) Exponential（ Constant Absolute Risk Aversion utility function） Logarithmic Power Quadratic ( ) , ( ) 。 Daniel Bernoulli提出使用邊際效用遞減 （ 即效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) u′為單調(diào)減函數(shù) ， 效用函數(shù)為凹函數(shù) ） 來解決此悖論 。 . . .x y a s x y?若 則, ( 0 , R )u a u b a b? ? ? ?u14 期望效用理論 St. Petersburg Paradox（ Nicholas Bernoulli 1713） 這是一個擲硬幣的游戲 ， 參加者先付門票 ， 然后開始擲硬幣 ， 直至第一個正面出現(xiàn)時為止 。 若優(yōu)先序滿足以上兩條性質(zhì)和兩條公理 ， 則存在 （ 仿射變化 ） 唯一的數(shù)值表示 ， u(.)稱為效用函數(shù) 。 1m i n 2s .t . 1 ,r? ? ? ??????? ?18 均值 方差模型回顧 What are we doing?? 選擇 最好的 投資組合（ W為初始投資金額） ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ), , ... , , ... ( , , ... , , ... )nn? ? ? ? ? ?或( 1 ) ( 2 ) ( )( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . )nnr r rP P P? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?或* 1 *( ) ( )rP????( 或 ）合適的指標(biāo) ** ( )??或9 均值 方差模型回顧 均值 方差是否為好的指標(biāo)？ 例子 兩個風(fēng)險資產(chǎn) S1和 S2的回報率的可能取值分別為 各情景發(fā)生的概率為 。 11m in ( )22s . t. [ ] = , 1 ,pV a r rE r r r? ? ?????????? ?? ?1(1 , 1 , , 1 ) , pr??11( , ... , ) ,n? ? ? ??4 均值 方差模型回顧 Markowitz均值 方差模型（繼續(xù)） 也可以表示為 其中 為預(yù)先指定的投資組合的期望期末財富水平 ，W為投資者的初始財富水平 。 表示以投資額比例計的投資組合 。 若 ?∞λ+∞， 我們將得到最小方差集合 (minimum variance set)； 若 ?∞ λ ≤ 0， 我們將得到有效前沿 (efficient frontier)。: 9 % , 2 % , 6 % , 1 5 % , 1 6 % .rr????21 , . .r r a s?10 期望效用理論 優(yōu)先序（ preference order） 為投資組合期末可能出現(xiàn)的財富水平， 添加優(yōu)先序（即對絕對可積的隨機變量構(gòu)成的集合 L1添加優(yōu)先序） 1） 完備性 （ Completeness） 2） 傳遞性 （ Transitivity） 1, , x y L x y y x?對 任 何 , 或 者 或 者 ， 或 者 兩 者 都 成 立 ；, x y y z x z如 果 ， 則 ；1,P??11 期望效用理論 優(yōu)先序（繼續(xù)） 3） 獨立性公理 （ Independence axiom） 4） 阿基米德公理 （ Archimedean axiom） 11, , ( 1 ) ( 1 ) , ( 0 , 1 ].x y L x yx z y zzL? ? ? ???? ? ? ???對 任 何 , 若 則其 中, (0 , 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .x y zx z y x z??? ? ? ??? ? ? ?若 ， 則 存 在 滿 足12 期望效用理論 Von NeumannMenstern表示 數(shù)值表示 ：若函數(shù) U: L1?R滿足 稱 U為優(yōu)先序的數(shù)值表示 。 單調(diào)性 （ monotone） 數(shù)值表示滿足單調(diào)性當(dāng)且僅當(dāng) u為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù) 。 稱為圣彼得堡悖論 。 注意到 風(fēng)險厭惡的投資者的效用函數(shù) u為凹函數(shù) 。bu x bx b b a x b x? ? ? ? ?2( ) ( 0 ) , ( ) 2 / ( 1 2 ) 。22 期望效用理論 如何得到投資者的效用函數(shù) ？？ 1） 首先指定投資者效用函數(shù)的形狀 ， 如指數(shù)型 ， 對
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