【正文】 5 35 ???nn=3，故 {bn}是以 5為首項， 3為公比的等比數(shù)列 . {an}的前 n項和為 Sn，且（ 3m） Sn+2man=m+3 （ n∈ N*），其中 m為常數(shù)，且 m≠ 3,m≠ 0. （ 1）求證： {an}是等比數(shù)列； （ 2）若數(shù)列 {an}的公比 q=f(m),數(shù)列 {bn}滿足 b1=a1,bn=23f(bn1) (n∈ N,n≥ 2),求證：??????nb1為等差數(shù)列，并求 bn. 證明 （ 1）由 (3m)Sn+2man=m+3, 得 (3m)Sn+1+2man+1=m+3, 兩式相減，得（ 3+m） an+1=2man,m≠ 3, ∴nnaa1?=32?mm≠ 0 (n≥ 1).∴ {an}是等比數(shù)列 . （ 2）由 (3m)S1+2ma1=m+3,解出 a1=1,∴ b1=1. q=f(m)= 32?mm,n∈ N 且 n≥ 2時， bn=23f(bn1)= 23 數(shù)列的通項公式及求和 基礎自測 {an}滿足 a1,a2a1,a3a2,? ,anan1,?是首項為 1，公比為 3的等比數(shù)列，則 an等于 （ ） A.213?n B.233?n C.213?n D.233?n 答案 C 121,341,581,7161,? ,(2n1)+n21,?的前 n項和 Sn的值等于 （ ） A.nn 2112 ?? B.nnn 2112 2 ??? C.12 211 ??? nn D.nnn 2112 ??? 答案 A 3.（ 2020 Sn，得nS111?nS=2， ∴數(shù)列??????nS1是首項為11S=11a=1， 公差為 2的等差數(shù)列 . 4 分 ∴nS1=1+2（ n1） =2n1，∴ Sn=121?n. 6 分 （ 2）又 bn=12?nSn=)12)(12( 1 ?? nn =21 ?????? ??? 12 112 1 nn， 8分 ∴ Tn=b1+b2+? +bn =21 ?????? ?????? ??????????? ???????? ? 12 112 15131311 nn? =21 ?????? ?? 1211 n=12?nn. 12 分 1.（ 2020 21+? +(n1) 22+? +(n1) 2021? 2n1=n廈門模擬） 已知數(shù)列 {an}中 ,a1=20,an+1=an+2n1,n∈ N*,則數(shù)列 {an}的通項公式 an= . 答案 n22n+21 8.（ 2020 ??????41n1. （ 2） =nnba=（ 2n1） 4n1， ∴ 4Tn=4+3 4+24144??n（ 2n1） （ 2）求數(shù)列 {nan}的前 n項和 Tn. 解 （ 1）∵ an+1=2Sn,∴ Sn+1Sn=2Sn,∴nnSS1?=3. 又∵ S1=a1=1,∴數(shù)列 {Sn}是首項為 公比為 3的等比數(shù)列， Sn=3n1(n∈ N*).當 n≥ 2時， an=2Sn1=2 31+? +2n 3n1, 。 31+6 當 n≥ 2時， Tn=1+4 4n35，∴ Tn=95965 n? 4n1（ 2n1） 4n1+（ 2n1） 4+5江西文， 19） 等差數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)， a1=3,前 n項和為 Sn， {bn}為等比數(shù)列， b1=1，且b2S2=64,b3S3=960. （ 1）求 an與 bn。 湖州模擬 ）已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=an2+bn+c（ n∈ N*），且 S1=3,S2=7,S3=13, （ 1）求數(shù)列 {an} （ 2）求數(shù)列?????? ?11nnaa的前 n項和 Tn. 解 （ 1）由已知有??????????????,1339,724,3cbacbacba 解得????????,1,1,1cba 所以 Sn=n2+n+1. 當 n≥ 2 an=SnSn1=n2+n+1［ (n1)2+(n1)+1］ =2n, 所以 an=??? ?? .2,2 ,1,3 nn n (2)令 bn=11?? nn aa，則 b1=121121 ?aa. 當 n≥ 2時， bn= )111(41)1(22 1 ?????? nnnn. 所以 Tn=b2+? +bn =)1(8 1)11141313121(41 ?????????? nnnn?. 所以 Tn=)1(24 15)1(8 1121 ?????? nnnn (n∈ N*). 一、選擇題 1.（ 2020 2n 兩式相減，得： Sn=n 2n1 2Sn=1全國Ⅰ文， 19） 在數(shù)列 {an}中， a1=1， an+1=2an+2n. （ 1）設 bn=12?nna.證明：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn. （ 1） 證明 ∵ an+1=2an+2n，∴nna21?=12?nna+1， ∵ bn=12?nna，∴ bn+1=bn+1，即 bn+1bn=1,b1=1, 故數(shù)列 {bn}是首項為 1，公差為 1的等差數(shù)列 . (2)解 由（ 1）知 ,bn=n,an=n2n1, 則 Sn=1 溫州調(diào)研 ）設 {an}是首項為 1的正項數(shù)列，且（ n+1） a21?n na2n +an+1an=0 (n=1,2,3,? ).則它的通項公式是 an= . 答案 n1 例 1 已知數(shù)列 {an}滿足 an+1=1122 ????nn nna a,a1=2,求數(shù)列 {an}的通項公式 . 解 已知遞推式可化為11?nana1=121?n, ∴21a11a=21,31a21a=321,41a31a=421,? na111?na=n21, 將以上 (n1)個 式子相加得 na111a=21+321+421+? +n21, ∴na1=211)211(21?? n =1n21,∴ an=122?nn. 例 2 求和： Sn=a1+22a+33a+? +nan. 解 （ 1） a=1時， Sn=1+2+? +n=2 )1( ?nn. （ 2） a≠ 1時， Sn=a1+22a+33a+? +nan ① a1Sn=21a+32a+? +nan1?+1?nan ② 由① ②得 ???????a11Sn=a1+21a+31a+? +na11?nan =aaa n11)11(1?? 1?nan,∴ Sn=2)1( )1()1( ? ??? aa anaa nn. 綜上所述， Sn=????????? ?????)1()1( )1()1()1(2 )1(2 aaaanaaannnn. 例 3 （ 12分）已知數(shù)列 {an}中， a1=1，當 n≥ 2時，其前 n項和 Sn滿足 S2n =an(Sn21). （ 1）求 Sn的表達式； （ 2）設 bn=12?nSn，求 {bn}的前 n項和 Tn. 解 （ 1）∵ S2n =an?????? ?21nS， an=SnSn1（ n≥ 2）， ∴ S2n=（ SnSn1）?????? ?21nS, 即 2Sn1Sn=Sn1Sn， ① 3分 由題意 Sn1四川文， 21） 設數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=2an2n. （ 1）求 a3， a4； （ 2）證明： {an+12an}是等比數(shù)列； （ 3）求 {an}的通項公式 . (1)解 因為 a1=S1,2a1=S1+2,所以 a1=2,S1=2. 由 2an=Sn+2n知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1, 得 an+1=Sn+2n+1. ① 所以 a2=S1+22=2+22=6,S2=8, a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40. (2)證明 由題設和①式知 an+12an=(Sn+2n+1)(Sn+2n)=2n+12n=2n, 所以 {an+12an}是首項為 2,公比為 2的等比數(shù)列 . (3)解 an=(an2an1)+2(an12an2)+? +2n2(a22a1)+2n1a1=(n+1) 3n1,a2n=3 （ 2）證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列； （ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. （ 2） 證明 ∵ Sn=31（ an1）， ∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an, ∴數(shù)列 {an}是首項為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21安慶模擬 )已知等比數(shù)列 {an}中， a1+a2=30， a3+a4=120，則 a5+a6等于 （ ） B.? 240 D.? 480 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 bn，所以 an+1=92% 3t, ∴ 2tn=2 2. 方法二 由已知得： ????? 54321 11111 aaaaa 51 51aaaa? + 42 42aa aa? + 233aa =23 54321 a aaaaa ????=238a=2. ∴ a23 =4.∴ a3=177。浙江理， 6） 已知 {an}是等比數(shù)列 ,a2=2,a5=41,則 a1a2+a2a3+? +anan+1等于 （ ） （ 14n） B. 16（ 12n） C.332（ 14n） D.332（ 12n） 答案 C 例 1 已 知 {an}為等比數(shù)列， a3=2， a2+a4=320，求 {an}的通項公式 . 解 方法一 設等比數(shù)列 {an}的公比為 q，則 q≠ 0， a =qa3=q2， a4=a3q=2q， ∴q2+2q=320. 解得 q1=31， q2=3. ①當 q=31時， a1=18， ∴ an=18 (31)n1=1318?n=2 33n. ②當 q=3時， a1=92， ∴ an=92 3n1=2 3n3. ∴ an=2 33n或 an=2 3n3. 方法二 由 a3=2,得 a2a4=4， 又 a2+a4=320， 則 a2， a4為方程 x23