【正文】 ?????? ??? 443211 a4,∴ a4=81. ∴ a2=21， a3=41， a4=81. （ 2）∵當 n≥ 2時， an=3Sn4,∴ 3Sn=an+4, ∴??? ?? ?? ?? 43 43 11 nn nn aS aS,可得 :3an+1=an+1an, ∴nnaa1?=21，∴ a2， a3，?， an成等比數(shù)列， ∴ an=a2 等差數(shù)列及其前 n 項和 基礎(chǔ)自測 1.（ 2020 (2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8； （ 3）已知前 3項和為 12，前 3項積為 48，且 d＞ 0,求 a1. 解 （ 1） 方法一 設(shè)首項為 a1,公差為 d,依條件得 ??? ?? ?? da da 44153 1433 11,解方程組得??? ???.4231d ，a ∴ a61=23+(611) 4=217. 方法二 由 d=mn aa mn??,得 d=1545 1545??aa=3033153?=4, 由 an=am+(nm)d, 得 a61=a45+16d=153+16 4=217. （ 2）∵ a6=10,S5=5,∴??? ?? ?? 5105 10511 da da. 解方程組得 a1=5,d=3, ∴ a8=a6+2d=10+2 3=16,S8=82 )( 81 aa?=44. (3)設(shè)數(shù)列的前三項分別為 ad,a,a+d,依題意有： ??? ????? ????? 48)()( 12)()( daada daada, ∴????? ??? 48)( 4 22 daaa,∴??? ??? 24da. ∵ d＞ 0,∴ d=2,ad=2.∴首項為 2.∴ a1=2. 例 3 （ 12分）在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1=20,前 n 項和為 Sn，且 S10=S15，求當 n取何值時， Sn取得最大值，并求出它的最 大值 . 解 方法一 ∵ a1=20， S10=S15， ∴ 10 20+2910?d=15 20+21415?d， ∴ d=35. 4 分 ∴ an=20+（ n1） (35)=35n+365. 8 分 ∴ a13=0. 即當 n≤ 12時， an＞ 0,n≥ 14時， an＜ 0. 10分 ∴當 n=12或 13時， Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=12 20+21112? ?(35)=130. 12分 方法二 同方法一求得 d=35. 4 分 ∴ Sn=20n+2 )1( ?nn n =201a 2221?????? ?n+80441a1 （ a1＜ 0）， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 n=221=， Sn最小 .又 n∈ N*，故 n=10或 11時 Sn取得最小值 . 一、選擇題 {an}的前 n項和為 Sn，若 a2=1,a3=3,則 S4等于 （ ） 答案 C {an}中，已知 1a =2,a2+a3=13,則 a4+a5+a6等于 （ ） 答案 B 10項，其奇數(shù)項之和為 15，偶數(shù)項之和為 30，則其公差為 （ ） 答案 C {an}的前三項分別為 a1,2a+1,a+7,則這個數(shù)列的通項公式為 （ ） =4n3 B. an=2n1 =4n2 =2n3 答案 A 5.（ 2020 31S3，41S4的等差中項為 1， 求數(shù)列 {an}的通項公式 . 解 方法一 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項 a1=a，公差為 d， 則 Sn=na+2 )1( ?nnd，依題意，有 ??????????????? ????????? ???????? ????????? ????????? ??,212 344412 23331,2 4552512 344412 233312dadadadada 整理得?????????,2252,053 2dadad ∴ a=1， d=0或 a=4， d=512. ∴ an=1或 an= n512532?， 經(jīng)檢驗 ， an=1和 an= n512532?均合題意 . ∴所求等差數(shù)列的通項公式為 an=1或 an= n512532?. 方法二 因 Sn是等差數(shù)列的前 n項和，易知數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 .依題意得 ??????????????????????????.SS,SSS，SSS2435434253432543453解得????????,5,4,3543SSS 或?????????????.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4S3=1， a5=S5S4=1， 或 a4=516， a5=528， ∴ d=0或 d=512. ∴ an=a4+（ n4） 0=1 或 an=a4+（ n4） (512)=532512n. 故所求等差數(shù)列的通項公式 an=1 或 an=532512n. 知公差大于零的等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且滿足： a3海南、寧夏理， 4） 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比 q=2,前 n項和為 Sn,則24aS等于 （ ） C.215 D.217 答案 C {an}中 ,a3=7,前 3項之和 S3=21，則公比 q的值為 （ ） 21 21 21 答案 C 1,a,b,c,9成等比數(shù)列 ,那么 （ ） =3， ac=9 =3， ac=9 =3， ac=9 ` =3， ac=9 答案 B {an}中，已知 a1a3a11=8，則 a2a8等于 （ ） 答案 D 5.（ 2020 (21 )n1=(21 )n. ∴ an=(21)n+1. ∴ =(21)n +1???????? ????????? 1211n = 121 ??????? n n??????21= 121 ??????? n ???????211 = n??????21（ n≥ 2） . 10分 又 c1=a1=21也適合上式，∴ = n??????21. 12 分 例 3 在等比數(shù)列 {an}中， a1+a2+a3+a4+a5=8且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3. 解 方法一 設(shè)公比為 q,顯然 q≠ 1, ∵ {an}是等比數(shù)列，∴??????na1也是等比數(shù)列，公比為q1. 由已知條件得?????????????????211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21 q4 =4, ∴ a23 =（ a1q2） 2=4， ∴ a3=177。 3t=6 an，另一部分是新綠化的 12% 3n161，則 x的值為 （ ） A.31 31 C.21 21 答案 C 6.(2020 2n1或 51（ 2） n1 三、解答題 {an}的前 n項和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2。 3n， ∴ a3=2232a? =6， a4=3332a? =9， a5=4432a? =18， a6=5532a? =27. （ 2）證明 ∵ {anan+1}是公比為 3的等比數(shù)列， ∴ anan+1=3an1an，即 an+1=3an1， ∴ a1， a3， a5,?， a2n1，?與 a2,a4,a6，?， a2n，?都是公比為 3的等比數(shù)列 . ∴ a2n1=2321 1???n nbb， bnbn1+3bn=3bn1，推出nb111?nb=31. ∴??????nb1是以 1為首項、31為公差的等差數(shù)列 . ∴nb1=1+31?n=32?n.∴ bn=23?n. 12.（ 2020 武漢模擬 ）如果數(shù)列 {an}滿足 a1=2,a2=1 且1 111 ???? ??? nn nnnn nn aa aaaa aa(n≥ 2),則此數(shù)列的第 10 項為（ A.1021 B.921 C.101 D.51 答案 D f（ x） =xm+ax 的導數(shù)為 )(xf? =2x+1，則數(shù)列 {)(1nf}（ n∈ N*）的前 n項和是 （ A.1?nn B.12??nn C.1?nn D.nn1? 答案 A 5.（ 2020江西理， 5） 在數(shù)列 {an}中， a1=2， an+1=an+ln ???????n11，則 an等于 （ ） +lnn +(n1)lnn +nlnn +n+lnn 答案 A 2.（ 2020 2n2+n 2n1+n 2n2n+1. 3.（ 2020大連模擬） 若數(shù)列 {an}滿足 a1+3a2+32a3+? +3n1an=31?n(n∈ N*),則 an= . 答案 ?????????2,311,32nnn 三、解答題 {an}的前 n項和， an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n，求 Sn. 解 ∵ an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n=)12)(12( 11)2( 2 ?? ??nnn =1+)12)(12( 1 ?? nn =1+21 ?????? ??? 12 112 1 nn， ∴ Sn=n+21（ 131+3151+5171+? +121?n121?n） =n+21 ?????? ?? 1211 n=n+12?nn=12 22 2??n nn. 10.（ 2020 4n1， ∴ Tn=1+3 42+? +（ 2n3） 42+? +2 4n =365 n? 3n2(n≥ 2), ∴ an=????? ?? ?? .2,32 ,1,1 2 nnn （ 2） Tn=a1+2a2+3a3+? +nan. 當 n=1時， T1=1。 3n2, ① 3Tn=3+