【正文】 值為 1 32? ,xy R?? ，且 41xy??，則 xy? 的最大值為 161 lg lg 1xy??，則 52xy?的最小值是 2 【 范例導(dǎo)析 】 例 54x?，求函數(shù) 14245yx x? ? ? ?的最大值 . 分析：由于 4 5 0x?? ，所以首先要調(diào)整符號(hào) . 解：∵ 54x?∴ 5 4 0x?? ∴ y=4x2+ 145x?= 15 4 354x x??? ? ? ??????≤ 2+3=1 當(dāng)且僅當(dāng) 15454x x???，即 x=1時(shí)，上式成立，故當(dāng) x=1時(shí)， max 1y ? . 例 2.（ 1） 已知 a， b為正常數(shù)， x、 y 為正實(shí)數(shù)，且 1ab+=xy，求 x+y 的最小值。 2. 能運(yùn)用一元二次不等式解決綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： （ 1） 23 4 4 0xx? ? ? ? （ 2） 213022xx? ? ? （ 3） ? ?? ? 21 3 2 2x x x x? ? ? ? ? （ 4） 223214 2 ??????? xx 解：（ 1）原不等式化為 23 4 4 0xx? ? ? ，解集為 2 23 x? ? ? （ 2）原不等式化為 2 2 3 0xx? ? ? ，解集為 R （ 3）原不等式化為 2 10xx? ? ? ，解集為 ? （ 4） 由2 222213 42 1 013 222 4 , ,1322 2 5 0222xx xxxx xxxx? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ???得 得 得 2 1 2 1 ,6 1 6 1xxx? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???或 ( 6 1 , 2 1 ) ( 2 1 , 6 1 )x? ? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)撥： 解一元二次不等式要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、對(duì)應(yīng)方程 ? 的判斷、以及對(duì)應(yīng)方程兩根大小的比較 . 2. 函數(shù) )1(log 221 ?? xy的定義域?yàn)? ? ?2 , 1 1, 2?????? 3..二次函數(shù) y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分對(duì)應(yīng)值如下表： 則不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ),3()2,( ????? ? 02 ??? cbxx 的解集是 }13{ ??? xxx 或 ，則 b=__2____ c=__3____. 【 范例導(dǎo)析 】 例 .解關(guān)于ｘ的不等式 )1(12 )1( ???? axxa 分析： 本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類(lèi)討論 . 解 :原不等式等價(jià)于 02 )2()1( ?? ??? x axa ∵ 1?a ∴等價(jià)于： ? ?02 121?? ??????????xaaxa （ *） a１ 時(shí)，（ *）式等價(jià)于 212????xaax0∵ 11112 ????? aaa １∴ x 12??aa 或 x２ a１時(shí)，（ *）式等價(jià)于 212????xaax0由２－ 12??aa ＝ 1?aa 知： 當(dāng) 0a１時(shí)， 12??aa ２，∴２ x 12??aa ； 當(dāng) a0時(shí)， 12??aa ２，∴ 12??aa x２ ； 當(dāng) a＝ 0時(shí)，當(dāng) 12??aa ＝２，∴ x∈φ 綜上所述可知：當(dāng) a0時(shí)，原不等式的解集為（ 12??aa ， 2）；當(dāng) a＝ 0時(shí)，原不等式的解集為φ；當(dāng) 0a１時(shí)，原不等式的解集為（ 2， 12??aa ）；當(dāng) a１時(shí)，原不等式的解集為（－∞， 12??aa ）∪（ 2，＋∞）。zmax=50 點(diǎn)撥： 幾個(gè)結(jié)論： (1)、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得。 （ 3） 求 22 yxz ?? 的最大和最小值。從圖中可得， k z kOB OA?? ，又 13,3kkOA OB??， 1 33 z? ? ?。 點(diǎn)撥 ： 關(guān)鍵要明確每一目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從而將目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍 . 例 3． 本公司計(jì)劃 2020 年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò) 300 分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò) 9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 500 元 /分鐘和 200 元 /分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為 萬(wàn)元和 萬(wàn)元．問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？ 分析：本例是線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用題，其解題步驟是：（ 1） 設(shè)出變量，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；（ 2）畫(huà)出可行域（ 3）觀察平行直線(xiàn)系 3000 2020z x y??的運(yùn)動(dòng)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值 . 解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 x 分鐘和 y 分鐘，總收益為 z 元，由題意得3005 0 0 2 0 0 9 0 0 0 00 0 .xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 目標(biāo)函數(shù)為 3000 2020z x y??． 二元一次不等式組等價(jià)于 3005 2 9000 0.xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 如圖： 作直線(xiàn) : 30 00 20 00 0l x y??， 即 3 2 0xy??． 平移直線(xiàn) l ，從圖中可知，當(dāng)直線(xiàn) l 過(guò) M 點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 聯(lián)立 3005 2 ???? ??? ，解得 100 200xy??， ． ?點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (100200)， ． m a x 3 0 0 0 2 0 0 0 7 0 0 0 0 0z x y? ? ? ?（元） 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 例 3 答：該公司在甲電視臺(tái)做 100 分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做 200分鐘廣告，公司的收益最大，最 大收益是 70萬(wàn)元． 【反饋練習(xí)】 502xyyax? ? ??????≥ ，≥ ，≤ ≤表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 a 的取值范圍是 57a?≤ P（ x， y）在不等式組????????????022,01,02yxyx 表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則 z＝ x－ y的取值范圍是 [－ 1，2] x 、 y 滿(mǎn)足約束條件5,3 2 12,0 3,0 4.xyxyxy???? ???? ???? ???則使得目標(biāo)函數(shù) 65z x y??的最大的點(diǎn) (, )xy 是 （ 2,3） ． xy， 滿(mǎn)足 2203xyxyy???????≥ ，≤ ，≤ ≤ ，則 2z x y??的取值范圍是 ? ?57?， A（ 3，－ 1）、 B（－ 1， 1）、 C（ 1， 3）為頂點(diǎn)的△ ABC 的區(qū)域（包括各邊），寫(xiě)出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù) z=3x－ 2y的最大值和最小值 . 分析：本例含三個(gè)問(wèn) 題：①畫(huà)指定區(qū)域；②寫(xiě)所畫(huà)區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式 —— 不等式組；③求以所寫(xiě)不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值 解：如圖，連結(jié)點(diǎn) A、 B、 C，則直線(xiàn) AB、 BC、 CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆?ABC區(qū)域 直線(xiàn) AB的方程為 x+2y－ 1=0， BC及 CA 的直線(xiàn)方程分別為 x－ y+2=0， 2x+y－ 5=0 在△ ABC內(nèi)取一點(diǎn) P（ 1， 1）， 分別代入 x+2y－ 1， x－ y+2， 2x+y－ 5 得 x+2y－ 10， x－ y+20， 2x+y－ 50 因此所求區(qū)域的不等式組為 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 作平行于直線(xiàn) 3x－ 2y=0的直線(xiàn)系 3x－ 2y=t（ t為參數(shù)），即平移直線(xiàn) y=23 x，觀察圖形可知：當(dāng)直線(xiàn) y=23 x－ 21 t過(guò) A（ 3，－ 1）時(shí)，縱截距－ 21 t最小新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆此時(shí) t最大， tmax=3 3－ 2（－ 1） =11；當(dāng)直線(xiàn) y=23 x－ 21 t經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（－ 1， 1）時(shí)，縱截距－ 21 t最大，此時(shí) t有最小值為 tmin= 3（－ 1）－ 2 1=－ 5 因此，函數(shù) z=3x－ 2y在約束條件 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 下的最大值為 11，最小值為－ 5 。 2121122222 ??????? ????? xxxa 當(dāng) ??????? 2,21x時(shí)， ??????? 12,23a 所以 ??????? 12,23a時(shí)， ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 點(diǎn)撥 ：本題用的是參數(shù)分離的思想 . 例 、乙兩地相距 kms ，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò) km/hc ，已知汽車(chē) 每小時(shí)的運(yùn)輸 ． ． ． ． ． ．成本 ． ． （以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 km/hv 的平方成正比，且比例系數(shù)為 b ；固定部分為 a 元． （ 1） 把全程運(yùn)輸成本 y 元表示為速度 km/hv 的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （ 2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？ 分析： 需由實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解 解： （ 1）依題意知汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為 hvs ，全程運(yùn)輸成本為 )(2 bvvasvsbvvsay ?????? ．故所求函數(shù)為 )( bvbasy ?? ，定義域?yàn)?)0( cv ，? ． （ 2）由于 vbas 、 都為正數(shù)， 故有 bvbasbvvas ???? 2)(，即 absbvvas 2)( ?? ． 當(dāng)且僅當(dāng) bvva? ，即bav?時(shí)上式中等號(hào)成立． 若 cba?時(shí)，則bav?時(shí)，全程運(yùn)輸成本 y 最??； 當(dāng) cba?，易證 cv??0 ，函數(shù) )()( bvvasvfy ??? 單調(diào)遞減，即 cv? 時(shí)， )(min bccasy ??． 綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本 y 最小， 在 cba?時(shí)，行駛速度應(yīng)為bav?； 在 cba?時(shí)，行駛速 度應(yīng)為 cv? ． 點(diǎn)撥：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應(yīng)用．也是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的一道優(yōu)秀試題． 【反饋練習(xí)】 10 ??a ，函數(shù) )22(lo g)( 2 ??? xxa aaxf ，則使 0)( ?xf 的 x 的取值范圍是 ),0( ?? 213log ( 2 3)y x x? ? ?的單調(diào)遞增區(qū)間是 (∞， a]，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ____ a1____ x 的不等式 mxx ??42 對(duì)任意 ]1,0[?x 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 ( , 3]??? 4 已知二次函數(shù) f (x)= ? ?0,12 ???? aRbabxax 且,設(shè)方程 f (x)=x 的兩個(gè)實(shí)根為 x1和 x2．如果 x12＜x24，且函數(shù) f (x)的對(duì)稱(chēng)軸為 x=x0，求證： x0＞ — 1． 證明： 設(shè) g(x)= f (x)— x= ? ? ? ? 212 ???????? gxxaxbax 得，由，且，且 g(4)0，即,81,221443,221443,03416 ,0124 ???????????? ??? ??? aaaababa ba 得由 ∴ .1814 112,41128 32 ???????????? abxaaba 故