【正文】 3n2, ① 3Tn=3+4 4n =365 n? 42+? +（ 2n3）大連模擬） 若數列 {an}滿足 a1+3a2+32a3+? +3n1an=31?n(n∈ N*),則 an= . 答案 ?????????2,311,32nnn 三、解答題 {an}的前 n項和， an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n，求 Sn. 解 ∵ an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n=)12)(12( 11)2( 2 ?? ??nnn =1+)12)(12( 1 ?? nn =1+21 ?????? ??? 12 112 1 nn， ∴ Sn=n+21（ 131+3151+5171+? +121?n121?n） =n+21 ?????? ?? 1211 n=n+12?nn=12 22 2??n nn. 10.（ 2020 2n1+n江西理， 5） 在數列 {an}中， a1=2， an+1=an+ln ???????n11，則 an等于 （ ） +lnn +(n1)lnn +nlnn +n+lnn 答案 A 2.（ 2020321 1???n nbb， bnbn1+3bn=3bn1，推出nb111?nb=31. ∴??????nb1是以 1為首項、31為公差的等差數列 . ∴nb1=1+31?n=32?n.∴ bn=23?n. 12.（ 2020 2n1或 51（ 2） n1 三、解答題 {an}的前 n項和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2。 an，另一部分是新綠化的 12% (21 )n1=(21 )n. ∴ an=(21)n+1. ∴ =(21)n +1???????? ????????? 1211n = 121 ??????? n n??????21= 121 ??????? n ???????211 = n??????21（ n≥ 2） . 10分 又 c1=a1=21也適合上式，∴ = n??????21. 12 分 例 3 在等比數列 {an}中， a1+a2+a3+a4+a5=8且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3. 解 方法一 設公比為 q,顯然 q≠ 1, ∵ {an}是等比數列，∴??????na1也是等比數列，公比為q1. 由已知條件得?????????????????211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21 q4 =4, ∴ a23 =（ a1q2） 2=4， ∴ a3=177。 31S3，41S4的等差中項為 1， 求數列 {an}的通項公式 . 解 方法一 設等差數列 {an}的首項 a1=a，公差為 d， 則 Sn=na+2 )1( ?nnd，依題意，有 ??????????????? ????????? ???????? ????????? ????????? ??,212 344412 23331,2 4552512 344412 233312dadadadada 整理得?????????,2252,053 2dadad ∴ a=1， d=0或 a=4， d=512. ∴ an=1或 an= n512532?， 經檢驗 ， an=1和 an= n512532?均合題意 . ∴所求等差數列的通項公式為 an=1或 an= n512532?. 方法二 因 Sn是等差數列的前 n項和，易知數列??????nSn是等差數列 .依題意得 ??????????????????????????.SS,SSS，SSS2435434253432543453解得????????,5,4,3543SSS 或?????????????.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4S3=1， a5=S5S4=1， 或 a4=516， a5=528， ∴ d=0或 d=512. ∴ an=a4+（ n4） 0=1 或 an=a4+（ n4） (512)=532512n. 故所求等差數列的通項公式 an=1 或 an=532512n. 知公差大于零的等差數列 {an}的前 n項和為 Sn，且滿足： a3 (2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8； （ 3）已知前 3項和為 12，前 3項積為 48，且 d＞ 0,求 a1. 解 （ 1） 方法一 設首項為 a1,公差為 d,依條件得 ??? ?? ?? da da 44153 1433 11,解方程組得??? ???.4231d ，a ∴ a61=23+(611) 4=217. 方法二 由 d=mn aa mn??,得 d=1545 1545??aa=3033153?=4, 由 an=am+(nm)d, 得 a61=a45+16d=153+16 4=217. （ 2）∵ a6=10,S5=5,∴??? ?? ?? 5105 10511 da da. 解方程組得 a1=5,d=3, ∴ a8=a6+2d=10+2 3=16,S8=82 )( 81 aa?=44. (3)設數列的前三項分別為 ad,a,a+d,依題意有： ??? ????? ????? 48)()( 12)()( daada daada, ∴????? ??? 48)( 4 22 daaa,∴??? ??? 24da. ∵ d＞ 0,∴ d=2,ad=2.∴首項為 2.∴ a1=2. 例 3 （ 12分）在等差數列 {an}中，已知 a1=20,前 n 項和為 Sn，且 S10=S15，求當 n取何值時， Sn取得最大值，并求出它的最 大值 . 解 方法一 ∵ a1=20， S10=S15， ∴ 10 20+2910?d=15 20+21415?d， ∴ d=35. 4 分 ∴ an=20+（ n1） (35)=35n+365. 8 分 ∴ a13=0. 即當 n≤ 12時， an＞ 0,n≥ 14時， an＜ 0. 10分 ∴當 n=12或 13時， Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=12 20+21112? ?(35)=130. 12分 方法二 同方法一求得 d=35. 4 分 ∴ Sn=20n+2 )1( ?nn 武漢武昌區(qū)調研測試 ）數列 {an}中 ,a3=2,a7=1,數列?????? ?11na是等差數列，則 an= . 答案 21 三、解答題 {an}的前 n項和為 Sn，滿足 log2(1+Sn)=n+1,求數列的通項公式 . 解 Sn滿足 log2(1+Sn)=n+1,∴ 1+Sn=2n+1, ∴ Sn=2n+11. ∴ a1=3,an=SnSn1=(2n+11)(2n1)=2n (n≥ 2), ∴ {an}的通項公式為 an=????? ?? ).2(2 ),1(3 nnn {an}中， a1=1,前 n項和為 Sn，對任意的 n≥ 2,3Sn4,an,223 1?nS總成等差數列 . （ 1）求 a a a4的值； （ 2）求通項公式 an. 解 （ 1）當 n≥ 2時， 3Sn4,an,223 1?nS成等差數列， ∴ 2an=3Sn4+223Sn1，∴ an=3Sn4（ n≥ 2） . 由 a1=1,得 a2=3(1+a2)4, ∴ a2=21,a3=3 ?????? ?? 3211 a4, ∴ a3=41,a4=3 ?????? ??? 443211 a4,∴ a4=81. ∴ a2=21， a3=41， a4=81. （ 2）∵當 n≥ 2時， an=3Sn4,∴ 3Sn=an+4, ∴??? ?? ?? ?? 43 43 11 nn nn aS aS,可得 :3an+1=an+1an, ∴nnaa1?=21，∴ a2， a3，?， an成等比數列， ∴ an=a2)1(2 1?n =)1(2 1?nn， ∴ an=???????????)2()1(2 1)1(21nnnn . 12 分 ，寫出數列的一個通項公式： （ 1）32，154，356，638，9910，? （ 2）21， 2，29， 8，225，? （ 3） 5， 55， 555， 5 555， 55 555，? （ 4） 5， 0， 5， 0， 5， 0， 5， 0，? （ 5） 1， 3， 7， 15， 31，? 解 （ 1）這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解成 1 3， 3 5， 5 7， 7 9， 9 11，?，每一項都是兩個相鄰奇數的乘積，經過組合，則所求數列的通項公式 an=)12)(12( 2 ?? nn n. （ 2）數列的項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統一成分數再觀察：21，24，29，216，225，?， 可得通項公式 an=22n. （ 3）聯想 ????個n 999 =10n1, 則 an= ????個n 555 =95??????個n )999( =95(10n1), 即 an=95 (10n1). （ 4）數列的各項都具有周期性，聯想基本數列 1， 0， 1， 0，?， 則 an=5sin2?n. （ 5）∵ 1=21， 3=221， 7=231，? ∴ an=2n1 故所求數列的通項公式為 an=2n1. f（ x） =2x2x，數列 {an}滿足 f（ log2an） =2n. （ 1）求數列 {an}的通項公式； （ 2）求證：數列 {an}是遞減數列 . （ 1） 解 ∵ f（ x） =2x2x， ∴ f（ log2an） =2 na2log 2 na2log? =2n， 即 anna1=2n. ∴ a2n +2n 數列的概念及簡單表示法 基礎自測 ： ①數列可以看成一個定義在 N*（或它的有限子集 {1， 2， 3，?， n}）上的函數； ②數列的項數是有限的； ③數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點； ④數列的通項公式是惟一的 . 其中說法正確的序號是 （ ） A.①②③