【正文】 在定義域內(nèi)存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立 .設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=f（ n） . （ 1）求函數(shù) f(x)的表達(dá)式； （ 2）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . 解 （ 1）∵ f(x)≤ 0的解集有且只有一個(gè)元素， ∴Δ =a24a=0? a=0 或 a=4， 當(dāng) a=4時(shí)，函數(shù) f(x)=x24x+4在（ 0， 2）上遞減， 故存在 0＜ x1＜ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立， 當(dāng) a=0時(shí)， 函數(shù) f(x)=x2在（ 0,+∞）上遞增， 故不存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)﹥ f(x2)成立， 綜上，得 a=4,f(x)=x24x+4. （ 2）由（ 1）可知 Sn=n24n+4,當(dāng) n=1時(shí)， a1=S1=1, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=SnSn1=(n24n+4)［ (n1)24(n1)+4］ =2n5, ∴ an=??? ?? ? )2(52 )1(1 nn n. 167。 a3 北京理， 6） 已知數(shù)列 {an}對(duì)任意的 p,q∈ N*滿足 ap+q=ap+aq且 a2=6,那么 a10等于 （ ） 答案 C 例 1 寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （ 1） 3， 5， 7， 9，?； （ 2）21，43，87，1615，3231，?； （ 3） 1，23， 31，43， 51，63，?； （ 4）32， 1，710， 917，1126， 1337，?； （ 5） 3， 33， 333， 3 333，? . 解 （ 1）各項(xiàng)減去 1后為正偶數(shù)，所以 an=2n+1. （ 2）每一項(xiàng)的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21， 22， 23， 24，?，所以 an=nn212?. （ 3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（ 1） n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列 1， 2， 3， 4，?；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng) 為 1，偶數(shù)項(xiàng)為 3，即奇數(shù)項(xiàng)為 21，偶數(shù)項(xiàng)為 2+1， 所以 an=（ 1） n a3等于 （ ） B. 28 答案 C 5.（ 2020 a2 221 ???????? n= 121 ???????? n， ∴ an=???????????????? )2(21)1(11 nnn . {an}中， a1=21， an=111?na(n≥ 2,n∈ N*)，數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）求證 ： an+3=an。 成都市第一次調(diào)研 ）設(shè) {an}為等差數(shù)列 ,Sn為數(shù)列 {an}的 前 n項(xiàng)和 ,已知 S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列??????nSn的前 n項(xiàng)和 ,求 Tn. 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, 則 Sn=na1+21n(n1)d, ∵ S7=7,S15=75, ∴??? ?? ?? 7510515 7217 11 da da, 即??? ?? ?? 57 1311 da da,解得??? ???121da, ∴nSn=a1+21(n1)d=2+21(n1), ∵11??nSnnSn=21, ∴數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 ,其首項(xiàng)為 2,公差為21, ∴ Tn=41n249n. {an}中， a1＜ 0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？ 解 由條件 S9=S12可得 9a1+289?d=12a1+21112?d，即 d=101a1. 由 a1＜ 0知 d＞ 0,即數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列 . 方法一 由??? ??? ????? 0 0111 1 ndaa d)n(aann， 得????????????01011011011nn ）（ ,解得 10≤ n≤ 11. ∴當(dāng) n為 10或 11時(shí)， Sn取最小值， ∴該數(shù)列前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)的和最小 . 方法二 ∵ S9=S12，∴ a10+a11+a12=3a11=0，∴ a11=0. 又∵ a1＜ 0,∴公差 d＞ 0，從而前 10項(xiàng)或前 11項(xiàng)和最小 . 方法三 ∵ S9=S12， ∴ Sn的圖象所在拋物線的對(duì)稱軸為 x=2129?=, 又 n∈ N*， a1＜ 0,∴ {an}的前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)和最小 . 方法四 由 Sn=na1+2 )1( ?nnd=2d 2n+ ?????? ?21 dan， 結(jié)合 d=101a1得 Sn= ??????? 1201a (2)若數(shù)列 {bn}滿足 bn=Sn?,是否存在非零實(shí)數(shù) c使得 {bn}為等差數(shù)列？若存在，求出 c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 解 （ 1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得， a2+a5=a3+a4=22,所以 a a4是關(guān)于 x的方程 x222x+117=0的解，又公差大于零， 所以 a3=9,a4=13. 易知 a1=1,d=4,故通項(xiàng)為 an=1+(n1) 4=4n3. (2)由 (1)知 Sn=2 )341( ?? nn=2n2n, 所以 bn=Sn?= nn??22. 方法一 所以 b1=c?11,b2=c?26,b3=c?315(c≠ 0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=21. 當(dāng) c=21時(shí)， bn=2122??nnn =2n, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=2. 故當(dāng) c=21時(shí)，數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列 . 方法二 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1= nn nn ?? ?????? 1 )1()1(22 22 =)1()12( 3)24(22 2 ???? ??? c , 欲使 {bn}為等差數(shù)列， 只需 4c2=2(2c1)且 3c=2c(c1) (c≠ 0)解得 c=21. 167。 2. 例 4 某林場(chǎng)有荒山 3 250 畝，每年 春季在荒山上植樹造林，第一年植樹 100畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹 50畝（全部成活） （ 1）問需要幾年，可將此山全部綠化完？ （ 2）已知新種樹苗每畝的木材量是 2立方米，樹木每年自然增長(zhǎng)率為 10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底的木材總量為 S約為多少萬立方米？（精確到 ） 解 （ 1）每年植樹的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以 a1=100， d=50的等差數(shù)列，其和即為荒山的總畝數(shù) . 設(shè)需要 n年可將此山全部綠化，則 Sn=a1n+2n(n1)d=100n+2 )1( ?nn 50=3 250. 解此方程，得 n=10（年） . （ 2）第一年種植的樹在第 10 年后的木材量為 2a1（ 1+） 10，第二年種植的樹在第 10 年后的木材量為2a2（ 1+） 9， ??， 第 10年種植的樹在年底的木材量為 2a10(1+), 第 10年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列 {bn}，則其和為 T=b1+b2+? +b10 =200 +300 +? +1 100 ≈ （萬立方米） . 答 需要 10年可將此山全部綠化， 10年后木材總量約為 . 知等比數(shù)列 {an}中， a3=23,S3=421,求 a1. 解 當(dāng) q=1時(shí)， a1=a2=a3=23,滿足 S3=421, 當(dāng) q≠ 1時(shí)，依題意有???????????21411233121q)q(aqa , 解得 q2=41,a1=： a1=23或 a1=6. {an}是等差數(shù)列， a5=6. （ 1）當(dāng) a3=3時(shí)，請(qǐng)?jiān)跀?shù)列 {an}中找一項(xiàng) am,使得 a3,a5,am成等比數(shù)列； （ 2）當(dāng) a3=2 時(shí)，若自然數(shù) n1,n2,? ,nt,? （ t∈ N* ）滿足 5＜ n1 ＜ n2 ＜?＜ nt ＜?使得a3,a5,1na,2na,? ,tna,?是等比數(shù)列，求數(shù)列 {nt}的通項(xiàng)公式 . 解 （ 1）設(shè) {an}的公差為 d,則由 a5=a3+2d, 得 d=236?=23,由 ama3=25a , 即 3?????? ??? 23)3(3 m=62，解得 m=9. 即 a3,a5,a9成等比數(shù)列 . （ 2）∵ a3=2， a5=6，∴ d=2 35 aa?=2， ∴當(dāng) n≥ 5時(shí)， an=a5+(n5)d=2n4, 又 a3,a5, 1na,2na,? ,tna,?成等比數(shù)列， 則 q=35aa=26=3,tna=a5 an+12%(1an)=54an+253,即 an+153=54(an53), ∴?????? ?53na是以 51為首項(xiàng)，54為公比的等比數(shù)列， 則 an+1=5351 ??????54n, ∵ an+1＞ 50%,∴5351 ??????54n＞21,∴ ??????54n ＜21,n＞54glo 21 = 2lg31 2lg? =3. 則當(dāng) n≥ 4時(shí)，不等式 ??????54n ＜21恒成立 .所以至少需要 4年才能使綠化面積超過 50%. 一、選擇題 1.（ 2020 (21)n1=(21)n, Sn=31 ???????? ???????? 121 n. {an}中， a1=2,a2=3,且 {anan+1}是以 3為公比的等比數(shù)列，記 bn=a2n1+a2n (n∈ N*). (1)求 a3,a4,a5,a6的值； （ 2）求證： {bn}是等比數(shù)列 . （ 1） 解 ∵ {anan+1}是公比為 3的等比數(shù)列， ∴ anan+1=a1a2 2n1. 167。 20+2 2n1 (2)求nSSS 111 21 ??? ?. 解 (1)設(shè) {an}的公差為 d、 {bn}的公比為 q，則 d為正數(shù)， an=3+（ n1） d， bn=qn1， 依題意有????? ??? ??? ,960)39( ,64)6( 233 22 qdbS qdbS 解得?????,8,2qd或??????????.340,56qd （舍去） . 故 an=3+2(n1)=2n+1,bn=8n1. （ 2） Sn=3+5+? +(2n+1)=n(n+2), 所以nSSS 111 21 ??? ? =311?+421?+531?+? +)2(1?nn = ?????? ????????? 2115131412131121 nn? = ?????? ????? 211121121 nn=43)2)(1(2 32 ?? ?nn n. {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=2n2， {bn}為等比數(shù)列，且 a1=b1， b2（ a2a1） =b1. （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng) 公式； （ 2）設(shè) =nnba,求數(shù)列 {}的前 n項(xiàng)和 Tn. 解 （ 1）由于 Sn=2n2,∴ n=1時(shí)， a1=S1=2； n≥ 2時(shí)， an=SnSn1=2n22(n1)2=4n2, 當(dāng) n=1時(shí)也適合 . ∴ an=4n2，∴ b1=a1=2， b2（ 62） =b1=2， ∴ b2=21，∴ q= ,4112 ?bb∴ bn=2 4n， ∴ 3Tn=1+2 4n. {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈ N*). （ 1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an。 32+? +2n 30+6 4n=1+2 42+? +（ 2n1） 成都市第一次診斷性檢測(cè) ）已知等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn（ n∈ N*），且 S3=3， S7=7，那么公差 d等于（ 答案 A {an}的通項(xiàng)公式 an=11 ?? nn，若前 n項(xiàng)的和為 10，則項(xiàng)數(shù)為 （ ） 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 an=)1(1?nn，則 S5等于 （ ） B.65 C.61