【正文】 =21 ?????? ?? 1211 n=12?nn. 12 分 1.（ 2020 22+? +(n1)廈門模擬） 已知數(shù)列 {an}中 ,a1=20,an+1=an+2n1,n∈ N*,則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an= . 答案 n22n+21 8.（ 2020 4n1， ∴ 4Tn=4+34144??n（ 2n1） 31+? +2n 31+6 4n35，∴ Tn=95965 n? 4n1+（ 2n1）江西文， 19） 等差數(shù)列 {an}的各項(xiàng)均為正數(shù)， a1=3,前 n項(xiàng)和為 Sn， {bn}為等比數(shù)列， b1=1，且b2S2=64,b3S3=960. （ 1）求 an與 bn。 2n 兩式相減，得： Sn=n全國Ⅰ文， 19） 在數(shù)列 {an}中， a1=1， an+1=2an+2n. （ 1）設(shè) bn=12?nna.證明：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn. （ 1） 證明 ∵ an+1=2an+2n，∴nna21?=12?nna+1， ∵ bn=12?nna，∴ bn+1=bn+1，即 bn+1bn=1,b1=1, 故數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)為 1，公差為 1的等差數(shù)列 . (2)解 由（ 1）知 ,bn=n,an=n2n1, 則 Sn=1四川文， 21） 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=2an2n. （ 1）求 a3， a4； （ 2）證明： {an+12an}是等比數(shù)列； （ 3）求 {an}的通項(xiàng)公式 . (1)解 因?yàn)?a1=S1,2a1=S1+2,所以 a1=2,S1=2. 由 2an=Sn+2n知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1, 得 an+1=Sn+2n+1. ① 所以 a2=S1+22=2+22=6,S2=8, a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40. (2)證明 由題設(shè)和①式知 an+12an=(Sn+2n+1)(Sn+2n)=2n+12n=2n, 所以 {an+12an}是首項(xiàng)為 2,公比為 2的等比數(shù)列 . (3)解 an=(an2an1)+2(an12an2)+? +2n2(a22a1)+2n1a1=(n+1) （ 2）證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列； （ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. （ 2） 證明 ∵ Sn=31（ an1）， ∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an, ∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21 bn，所以 an+1=92% 2. 方法二 由已知得： ????? 54321 11111 aaaaa 51 51aaaa? + 42 42aa aa? + 233aa =23 54321 a aaaaa ????=238a=2. ∴ a23 =4.∴ a3=177。 a4=117,a2+a5=22. （ 1）求通項(xiàng) an。 (35) =65n2+6125n =65 2225?????? ?n+241253. 8 分 ∵ n∈ N+,∴當(dāng) n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12 分 方法三 同方法一得 d=35. 4分 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 8 分 ∴ 5a13=0,即 a13=0. 10 分 ∴當(dāng) n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12分 {an},{bn}滿足 bn=n naaaa n???? ???? ? ?321 32 321，若 {bn}為等差數(shù)列，求證： {an}也為等差數(shù)列 . 證明 由題意有 a1+2a2+3a3+? +nan=2 )1( ?nnbn， ① 從而有 a1+2a2+3a3+? +(n1)an1=2 )1( ?nnbn1(n≥ 2), ② 由① ②，得 nan=2 )1( ?nnbn2 )1( ?nnbn1, 整理得 an=2 1??? nn bbnd, 其中 d為 {bn}的公差 (n≥ 2). 從而 an+1an=2)1( 1 nn bbdn ??? ?2 1??? nn bbnd =22 dd?= d23(n≥ 2). 又 a1=b1， a2=22 12 bbd ?? ∴ a2a1=22 12 bbd ??b1=22 12 bbd ??=23d. 綜上， an+1an=23d（ n∈ N*） . 所以 {an}是等差數(shù)列 . 2.（ 2020 qn2=21 an1=0. ∴ an=2 442 2 ??? nn，又 an＞ 0，∴ an= 12?n n. （ 2） 證明 ∵ an＞ 0，且 an= 12?n n, ∴nnaa1?=nnnn??????1)1(1)1(22 =)1(1)1(122??????nnnn ＜ 1. ∴ an+1＜ {an}為遞減數(shù)列 . 列 {an}中， Sn表示前 n項(xiàng)和且 2 nS =an+1，求 an. 解 ∵ 2 nS =an+1, ∴ Sn=41(a2n +2an+1), ∴ Sn1=41(a21?n +2an1+1), ∴當(dāng) n≥ 2時， an=SnSn1 =41［（ a2n a21?n ） +2（ anan1）］， 整理可得：（ an+an1）（ anan12） =0， ∵ an＞ 0，∴ anan1=2， 當(dāng) n=1時， a1=1, ∴ {an}是以 1為首項(xiàng)， 2為公差的等差數(shù)列 . ∴ an=2n1 (n∈ N*). 一、選擇題 1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， 5，?的第 100項(xiàng)是 （ ） 答案 A {an}中， a1=1,對于所有的 n≥ 2， n∈ N*都有 a1 河池模擬 ）設(shè) an=n2+10n+11，則數(shù)列 {an}從首項(xiàng) 到第幾項(xiàng)的和最大 （ ） 11 答案 C {an}的通項(xiàng)公式是 an=132?nn，那么這個數(shù)列是 （ B. C. D. 答案 A {an}的通項(xiàng)公式是 an=??? ?? ，nn ，nn )(22 )(13 為偶數(shù)為奇數(shù)則 a2n n)1(2 ??. 也可寫為 an=????????)(3)(1為正偶數(shù)為正奇數(shù)nnnn . （ 4）偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子（ 1） n+1，觀察各項(xiàng)絕對值組成的數(shù)列，從第 3項(xiàng)到第 6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù) 7， 9， 11， 13組成，而分子則是 32+1， 42+1， 52+1， 62+1，按照這樣的規(guī)律第 2兩項(xiàng)可改寫為12112??， 122 122???，所以 an=(1)n+1? 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 基礎(chǔ)自測 1.（ 2020 n =201a 2221?????? ?n+80441a1 （ a1＜ 0）， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 n=221=， Sn最小 .又 n∈ N*，故 n=10或 11時 Sn取得最小值 . 一、選擇題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 a2=1,a3=3,則 S4等于 （ ） 答案 C {an}中，已知 1a =2,a2+a3=13,則 a4+a5+a6等于 （ ） 答案 B 10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15，偶數(shù)項(xiàng)之和為 30，則其公差為 （ ） 答案 C {an}的前三項(xiàng)分別為 a1,2a+1,a+7,則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ） =4n3 B. an=2n1 =4n2 =2n3 答案 A 5.（ 2020海南、寧夏理， 4） 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比 q=2,前 n項(xiàng)和為 Sn,則24aS等于 （ ） C.215 D.217 答案 C {an}中 ,a3=7,前 3項(xiàng)之和 S3=21，則公比 q的值為 （ ） 21 21 21 答案 C 1,a,b,c,9成等比數(shù)列 ,那么 （ ） =3， ac=9 =3， ac=9 =3， ac=9 ` =3， ac=9 答案 B {an}中，已知 a1a3a11=8，則 a2a8等于 （ ） 答案 D 5.（ 2020 3t=6 3n161，則 x的值為 （ ） A.31 31 C.21 21 答案 C 6.(2020 3n， ∴ a3=2232a? =6， a4=3332a? =9， a5=4432a? =18， a6=5532a? =27. （ 2）證明 ∵ {anan+1}是公比為 3的等比數(shù)列， ∴ anan+1=3an1an，即 an+1=3an1， ∴ a1， a3， a5,?， a2n1，?與 a2,a4,a6，?， a2n，?都是公比為 3的等比數(shù)列 . ∴ a2n1=2 武漢模擬 ）如果數(shù)列 {an}滿足 a1=2,a2=1 且1 111 ???? ??? nn nnnn nn aa aaaa aa(n≥ 2),則此數(shù)列的第 10 項(xiàng)為（ A.1021 B.921 C.101 D.51 答案 D f（ x） =xm+ax 的導(dǎo)數(shù)為 )(xf? =2x+1，則數(shù)列 {)(1nf}（ n∈ N*）的前 n項(xiàng)和是 （ A.1?nn B.12??nn C.1?nn D.nn1? 答案 A 5.（ 2020 2n2+n 2n2n+1. 3.（ 2020 4n1， ∴ Tn=1+3 42+? +2 3n2(n≥ 2), ∴ an=????? ?? ?? .2,32 ,1,1 2 nnn （ 2） Tn=a1+2a2+3a3+? +nan. 當(dāng) n=1時， T1=1