【正文】 D.301 答案 B 1， 1+2， 1+2+4，?， 1+2+22+? +2n1，?的前 n項和 Sn＞ 1 020，那么 n的最小值是 （ ） 答案 D 2n項和為 (2n)3,且前 n個偶數(shù)項的和為 n2（ 4n+3），則它的前 n個奇數(shù)項的和為 （ ） A. 3n2（ n+1 （ 4n3 D.21n3 答案 B +916+? +(1)n+1n2等于 （ ） A.2 )1( ?nn 2 )1( ?nn C.2 )1()1( 1 ?? ? nnn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 21+2 Sn≠ 0， ①式兩邊同除以 Sn1 3n1， ∴ bn=a2n1+a2n=5 廣西河池市模擬 ）一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項的和是奇數(shù)項的和的 2倍，它的首項為 1，且中間兩項的和為 24，則此等比數(shù)列的公比為 ,項數(shù)為 . 答案 2 8 8.（ 2020 3t+1+4. 即tn=3t+1+2,t=1,2,3,? . 3.（ 1）在等比數(shù)列 {an}中， a1+a2=324， a3+a4=36，求 a5+a6的值； （ 2）在等比數(shù)列 {an}中，已知 a3a4a5=8，求 a2a3a4a5a6的值 . 解 （ 1）由等比數(shù)列的性質(zhì)知 ,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列，則 (a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6). ∴ a5+a6=4. （ 2）∵ a3a5=a24 ，∴ a3a4a5=a34 =8，∴ a4=2， 又∵ a2a6=a3a5=a24 ，∴ a2a3a4a5a6=a54 =32. “沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到 2020年底，將當?shù)厣衬G化了 40%，從 2020年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的 12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時原有綠洲面積的 8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過 50%？（可參考數(shù)據(jù) lg2=，最后結(jié)果精確到整 數(shù)） . 解 設該地區(qū)總面積為 1， 2020年底綠化面積為 a1=52，經(jīng)過 n年后綠洲面積為 an+1，設 2020年底沙漠面積為 b1，經(jīng)過 n年后沙漠面積為 bn+1，則 a1+b1=1， an+bn=1. 依題意 an+1由兩部分組成：一部分是原有綠洲 an減去被侵蝕的部分 8% qn3=2 3n3. ②當 a2=6時， q=31,an=2 33n ∴ an=2 3n3或 an=2 33n. 例 2（ 12分）已知數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且對任意 n∈ N*有 an+Sn=n. （ 1）設 bn=an1,求證：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； （ 2）設 c1=a1且 =anan1 (n≥ 2)，求 {}的通項公式 . （ 1） 證明 由 a1+S1=1及 a1=S1得 a1=21. 又由 an+Sn=n及 an+1+Sn+1=n+1 得 an+1an+an+1=1,∴ 2an+1=an+1. ∴ 2(an+11)=an1,即 2bn+1=bn. ∴數(shù)列 {bn}是以 b1=a11=21為首項， 21為公比的等比數(shù)列 . 6分 （ 2） 解 方法一 由（ 1）知 2an+1=an+1. ∴ 2an=an1+1 (n≥ 2), ∴ 2an+12an=anan1, ∴ 2+1= (n≥ 2). 8分 又 c1=a1=21 ,a2+a1+a2=2,∴ a2=43. ∴ c2=43 21 =41 ,即 c2=21 c1. ∴數(shù)列 {}是首項為 21 ，公比為 21 的等比數(shù)列 . 10分 ∴ =21 重慶理， 14） 設 Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項和 ,a12=8,S9=9,則 S16= . 答案 72 {an}、 {bn}都是公差為 1的等差數(shù)列，其首項分別為 a b1,且 a1+b1=5， a b1∈ N*.設 =nba(n∈ N*),則數(shù)列 {}的前 10項和等于 . 答案 85 三、解答題 {an}中， a1=53， an=211?na (n≥ 2,n∈ N*),數(shù)列 {bn}滿足 bn=11?na(n∈ N*). (1)求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}中的最大項和最小項，并說明理由 . （ 1） 證明 因為 an=211?na(n≥ 2,n∈ N*),bn=11?na. 所以當 n≥ 2時， bnbn1=11?na111??na =11211 ????????? ??na111??na=111???nnaa111??na=1. 又 b1=111?a=25.所以，數(shù)列 {bn}是以 25為首項，以 1為公差的等差數(shù)列 . （ 2） 解 由（ 1）知， bn=n27,則 an=1+nb1=1+722?n. 設函數(shù) f(x)=1+722?x,易知 f(x)在區(qū)間 (∞ ,27)和 (27,+∞ )內(nèi)為減函數(shù) . 所以，當 n=3時， an取得最小值 1； 當 n=4時， an取得最大值 3. {an}的奇數(shù)項的和為 216，偶數(shù)項的和為 192，首項為 1，項數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項和通項公式 . 解 設等差數(shù)列 {an}的項數(shù)為 2m+1,公差為 d, 則數(shù)列的中間項為 am+1,奇數(shù)項有 m+1 項，偶數(shù)項有 m項 . 依題意，有 S 奇 =(m+1)am+1=216 ① S 偶 =mam+1=192 ② ①247。 a2 0080,則使 Sn0成立的最大自然數(shù) n是 （ 013 014 015 016 答案 B 3.（ 2020 咸陽模擬 ）已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=n29n，第 k項滿足 5＜ ak＜ 8，則 k等于 （ ） 答案 B {an}的通項公式 an=2)1( 1?n，記 f（ n） =2(1a1)(1a2)? (1an)，試通過計算 f(1),f(2),f(3)的值，推測出 f(n)為（ ） A.nn1? B.13??nn C.12??nn D.23??nn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 2=2n， ∴ Sn=n21. 8 分 ∴當 n≥ 2時， an=2SnSn1=2第三章 數(shù) 列 167。n21沈陽模擬） 數(shù)列 {an}滿足 an+1=????????????,121,12,210,2nnnnaaaa a1=53，則數(shù)列的第 2 008項為 . 答案 54 8.（ 2020全國Ⅰ理， 5）已知等差數(shù)列 {an}滿足 a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前 10項的和 S10等于 （ 答案 C {an}和 {bn}的前 n 項和分別為 An和 Bn，且3457 ??? nnBAnn,則使得nnba為整數(shù)的正整數(shù) n 的個數(shù)是（ 答案 D a,b,m,n和 x,n,y,m均成等差數(shù)列，則 2b+y2a+x的值為 （ D. 不確 答案 C 例 1 已知數(shù)列 {an}滿足 a1=4,an=414?na(n≥ 2),令 bn=21?na.求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 證明 ∵ an+12=2na4=nnaa )2(2 ? ∴211??na=)2(2 ?nnaa=)2(2 22???nnaa=21+21?na ∴211??na21?na=21， ∴ bn+1bn=21. ∴數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 例 2 在等差數(shù)列 {an}中， （ 1）已知 a15=33,a45=153,求 a61。② ,得mm1?=192216，解得 ,m=8, ∴數(shù)列共有 2m+1=17項，把 m=8代入②，得 a9=24, 又∵ a1+a17=2a9， ∴ a17=2a9a1=47，且 d=917 917??aa=823. an=1+(n1)823=81523?n(n∈ N*,n≤ 17). Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項和，已知31S3，41S4的等比中項為51S5。 (21 )n1=(21 )n. 12 分 方法二 由（ 1） bn=(21 ) an的剩余面積 92%安慶模擬） 設等比數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn， S4=1， S8=17，則通項 an= . 答案 151 3n1. ∴nnbb1?=135 35 ???nn=3，故 {bn}是以 5為首項， 3為公比的等比數(shù)列 . {an}的前 n項和為 Sn，且（ 3m） Sn+2man=m+3 （ n∈ N*），其中 m為常數(shù)，且 m≠ 3,m≠ 0. （ 1）求證： {an}是等比數(shù)列； （ 2）若數(shù)列 {an}的公比 q=f(m),數(shù)列 {bn}滿足 b1=a1,bn=23f(bn1) (n∈ N,n≥ 2),求證：??????nb1為等差數(shù)列，并求 bn. 證明 （ 1）由 (3m)Sn+2man=m+3, 得 (3m)Sn+1+2man+1=m+3, 兩式相減，得（ 3+m） an+1=2man,m≠ 3, ∴nnaa1?=32?mm≠ 0 (n≥ 1).∴ {an}是等比數(shù)列 . （ 2）由 (3m)S1+2ma1=m+3,解出 a1=1,∴ b1=1. q=f(m)= 32?mm,n∈ N 且 n≥ 2時， bn=23f(bn1)= 23 Sn，得nS111?nS=2， ∴數(shù)列??????nS1是首項為11S=11a=1， 公差為 2的等差數(shù)列 . 4 分 ∴nS1=1+2（ n1） =2n1，∴ Sn=121?n. 6 分 （ 2）又 bn=12?nSn=)12)(12( 1 ?? nn =21 ?????? ??? 12 112 1 nn， 8分 ∴ Tn=b1+b2+? +bn =21 ?????? ?????? ??????????? ???????? ? 12 112 15131311 nn?