【正文】 個投資組合的收益的標準差；而、為風險因子i和j的標準差；為風險因子i和j的相關系數(shù)；為整個投資組合對分先因子i的敏感度，有時候也會被稱為Delta。 蒙特卡洛模擬法也被稱作隨機模擬法，它要首先建立一個概率模型或者說是隨機過程，使它的參數(shù)等于問題的解，然后通過對模型或者過程的直接觀察計算所求的參數(shù)的統(tǒng)計特征，然后給出我們所求的問題的近似值，解的精度可以用估計值的標準誤差表示。（3） 我們需要對模擬出結(jié)果加以分析，給出所求解的估計及其方差的估計，必要的時候我們要改進模型以便提高這個估計的精度和模擬計算的效率。它主要應用于期權(quán)類工具的風險度量，它持有期很短，持有其如果只有一天，那么正態(tài)法與其他兩種方法的差別不會很大；但是，如果持有期很長，那么正態(tài)法就不能夠很好地度量風險，因為這種方法是用線性展開來近似地映射風險，但是對于期權(quán)而言，其變動性往往是非線性的，因此持有期變長以后，線性逼近與實際變動之間的差距會越來越大。另外，蒙特卡洛模擬法是一種全值估計方法，體現(xiàn)了非線性資產(chǎn)的凸性，能夠有效地解決分析方法在處理又是非線性，同時又是非正態(tài)問題中所遇到的阻礙。又例如，我們往往會出現(xiàn)模型選擇的誤差。歷史模擬法和Delta的計算速度比較快，但是蒙特卡洛模擬法的計算量決定了它的計算速度；當我們所考查的數(shù)據(jù)沒有代表性時，歷史模擬法會計算出錯誤的VaR值，但是Delta和蒙特卡洛模擬法可以通過兩種已成熟的方式避免。這兩大缺陷分別是：市場缺陷以及操作缺陷。但是我們必須意識到，我國金融市場化程度顯然不高，而且還存在著許多的制度上和法律上的漏洞，讓我們在應用VaR進行分析時感到有點力不從心，從而使我們不能夠?qū)崿F(xiàn)很好地模擬。另外，利率、匯率并沒有完全市場化，一切都與宏觀調(diào)控政策存在千絲萬縷的聯(lián)系。在分形介質(zhì)中分子擴散現(xiàn)象不能用標準的擴散方程來描述，稱之為反常擴散。在近十年里，由于分數(shù)階導數(shù)在物理，工程,金融等領域及環(huán)境問題的研究方面得到廣泛的運用，引起了國內(nèi)外學者的關注。 因此將分數(shù)階反常擴散模型引入到風險管理中求出，不僅考慮了資產(chǎn)組合收益率的尖峰厚尾性，又給出了風險的一個數(shù)量化標準，這也正是本學位論文想要研究的主要內(nèi)容。在事實上，某一類最典型的非線性擴散方程：常常用來描述多孔介質(zhì)方程。這些變化會導致VaR測算的結(jié)果較實際結(jié)果偏小，所以我們有必要引進反常擴散模型，來彌補之前的這一缺憾。連續(xù)時間隨機游走模型與微分方程之間有如下介紹的關系，見于參考文獻[1]。為穩(wěn)定增長Levy過程的首達時。通俗地說，這個定理就是，在試驗不變的條件下，重復試驗多次，隨機事件的頻率近似于它的概率。也就是說數(shù)學期望是可以用算式平均來逼近的，即蒙特卡洛模擬法。再利用蒙特卡洛模擬法得到反常擴散方程的解的圖像（）。假設服從均值和方差分別為和的正態(tài)分布，即，則，其概率密度函數(shù)為：?？梢缘玫? (45) 反常擴散在非正態(tài)下引入VaR的計算在收益率不服從正態(tài)分布時，以往的辦法一般設定收益率服從對數(shù)正態(tài)分布，然后利用ITO過程從而推導出VaR： (46)但是在本文中，在非正態(tài)分布條件下引入反常擴散模型，用更加簡單直接高效率的方式破解這一難題。第5章 總結(jié)與展望 總結(jié)隨著金融市場、金融交易規(guī)模日趨擴大，金融資產(chǎn)價格的波動隨之變大，因此對金融市場風險的分析研究變得尤其重要。采用實證和規(guī)范分析相結(jié)合的研究方法，篩選一段時期的歷史數(shù)據(jù)，選擇適合中國風險環(huán)境的VaR模型，對風險管理運用進行實證分析，并提出相關政策建議。在比較了三種方法之后，我別具一格地提出了，在反常情形下，比如金融風暴，不可抗力條件影響下的市場環(huán)境，即數(shù)據(jù)非正態(tài)分布環(huán)境下的解決方法：在VaR值計算方法蒙特卡洛模擬法中引進反常擴散模型。 展望 金融市場瞬息萬變，著名的銀行家美聯(lián)儲前主席格林斯潘說：銀行業(yè)實際上就是管理風險的行業(yè)。 我們應當堅信，隨著我國市場化經(jīng)濟越發(fā)強壯，金融市場自由化指日可待，對于風險管理和風險度量的數(shù)學模型會越來越豐富多彩。從課題的選擇到論文的最終完成，呂老師始終都給予了細心的指導和不懈的支持，并且在耐心指導論文之余，呂老師仍不忘拓展我們的文化視野，讓我們感受到了數(shù)學的美妙與樂趣。在未來的日子里，我會更加努力的學習和工作，不辜負父母對我的殷殷期望！我一定會好好孝敬和報答他們！30。值得一提的是，呂老師宅心仁厚，閑靜少言，不慕榮利，對學生認真負責，在他的身上，我們可以感受到一個學者的嚴謹和務實，這些都讓我們獲益菲淺，并且將終生受用無窮。 技術分析 而怎樣進行風險管理？風險管理的方法能不能有效快速直接？這一連串的問題拷問著信息時代每一位求知者的內(nèi)心。本文研究的重點在于：研究風險管理與反常擴散模型的關系，以及VaR在風險管理領域的應用。以往對于VaR的值的測算分為三種主流的方法，即文中提及的方差——協(xié)方差法，蒙特卡洛模擬法和歷史模擬法。VaR作為一種動態(tài)風險管理方法，應用于一些大型金融企業(yè)，對金融工具市場風險進行測評，中國也應用在證券投資和銀行監(jiān)管中，表現(xiàn)出其較準確的風險預測性。用數(shù)學表達即 (47)其中為服從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。其中是初期資產(chǎn)價值，是收益率，在給定的置信度下的最低回報率為，則值就是末期價值均價減去末期價值最低值。這直接印證了，在反常擴散下，經(jīng)典VaR計算方法都會使結(jié)果偏小而喪失準確性。即 (321)而可通過反常模擬得到，固定，令，則， (322)其中是獨立同分布隨機變量且滿足，由參考文獻[28]可以知道，可由以下方式生成 (323)其中，是上的均勻分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。偶然中包含著某種必然。已知的特征函數(shù)為： (314)上式見于參考文獻[1]。其Laplace變換為 (38)故有 (39)對上式做Laplace及Fourier變換，可以得出 (310)不同的等待時間和跳躍過程分布的選取導致不同的微分方程。假設游走粒子的跳躍時刻為獨立同分布的隨機變量，以及在跳躍時刻粒子跳躍的步長也是獨立同分布的隨機變量……假設游走粒子在初始時刻的位置為，由此在時刻t，粒子經(jīng)過若干次的隨機跳躍后所在的位置是： ， (31)其中，.假設為隨機變量（）的聯(lián)合概率密度，因此跳躍長度的概率密度為 (32)等待時間的概率密度為 (33)經(jīng)典的理論表明當平均等待時間以及跳躍長度的方差均有界時，即 (34) (35)此時，由中心極限定理可以得到收斂于正態(tài)分布，然而在很多情況下，平均等待時間或者跳躍長度的方差是無界的，此時常規(guī)的中心極限定理是不適用的?？傊闯U散模型可以得到在反常狀態(tài)下的精確解，彌補了這一空白。作為分形幾何和分數(shù)微動力學的基礎，分數(shù)階微積分在描述反常擴散模型的現(xiàn)象之中起到了非常重要的作用。對許多物質(zhì)結(jié)構(gòu)和導電性的模擬，采用分數(shù)階導數(shù)比整數(shù)階導數(shù)具有更強的優(yōu)勢, 分數(shù)階導數(shù)對半自動的動力系統(tǒng)過程模擬和滲透結(jié)構(gòu)的模擬同樣重要。如任福堯等人于2006年已經(jīng)證明了分數(shù)階擴散方程：的解具體形式基本上依賴于潛在幾何的形狀。 反常擴散應用于的優(yōu)點所有上述所提到的模型是基于資產(chǎn)組合的概率分布滿足正態(tài)分布這一假設前提下得到結(jié)果的。各大金融機構(gòu)有關于貸款的各種數(shù)據(jù)仍然處于非公開的狀態(tài)，金融數(shù)據(jù)的采集仍然受到限制。而這一假設是所有金融模型的計算基礎。下面，我們通過一張表格來簡單了解三種方法的異同。 介紹完三種方法的各自應用范圍、方式以及缺陷之后，我們將這三種方法進行比較分析：歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法都能夠有效地估算包含期權(quán)類工具的投資組合，并且Delta只能夠估算包含少量持有期很短的期權(quán)類工具；當投資組合相對應的市場因素在歷史上出現(xiàn)的數(shù)值都能獲得時，歷史模擬法是我們最好的選擇。 但是，經(jīng)過長期的實踐，我們不難發(fā)現(xiàn)，蒙特卡羅模擬法有它的不足之處。 蒙特卡洛模擬法應用范圍及缺陷 蒙特卡洛模擬法是三種方法中最高端的。 但是，在歷史模擬法中也存在一些缺陷，主要表現(xiàn)在以下三個方面：第一，回報率的分布在整個樣本時期內(nèi)是固定不變的，假如歷史趨勢發(fā)生比較大的偏差；第二，歷史模擬法不能夠給我們提供比我們所觀察到的樣本中最小的回報率還要糟糕的預期損失；第三，樣本的大小會對VaR值造成比較大的影響，產(chǎn)生一個比較大的方差；第四，歷史模擬法不能夠作極端情景下的敏感性測試。（1） 我們必須針對現(xiàn)實的問題來建立一個簡單而且便于實現(xiàn)的概率統(tǒng)計模型，使得模型所求的解恰好是我們所建立模型的概率分布或者其某個數(shù)字特征，比如說是某一個事件的概率或者說是這個模型的期望值。 蒙特卡洛模擬法 基于蒙特卡羅模擬的計算，他的原理與我們的歷史模擬法比較相類似，所有不同的地方在于市場因子的變化不是來自于對歷史的觀測值，而是通過隨機數(shù)模擬得到的。（3） 運用資產(chǎn)定價公式，根據(jù)模擬出來的風險因子的未來可能出現(xiàn)的N種可能的價格水平，求證出證券組合的N種未來盯市價值，并且與當前所存在的風險因子的資產(chǎn)組合價值比較，得到證券組合未來的N個潛在損益，即損益分布。歷史模擬法假設投資組合的回報分布方式就是獨立同分布，市場因子在未來一段時間的波動和歷史數(shù)據(jù)波動完全一樣，其核心是利用過去一段時間內(nèi)所得的資產(chǎn)回報率數(shù)據(jù)，估算資產(chǎn)回報率的統(tǒng)計分布，再根據(jù)不一樣的分位數(shù)求得相對應的置信水平下的VaR。歷史模擬法進一步地假設數(shù)據(jù)在歷史上的變化會直接對未來變化構(gòu)成影響，但是方差——協(xié)方差法和蒙特卡洛模擬法則預先就已經(jīng)假定了數(shù)據(jù)的變化服從了特定的分布。 計算VaR值的方法在具體計算VaR值時，有三種不同的方法。比如說如果我們有某一個99%置信水平的在險價值，就是VaR值為1000萬美元，這句話的意思就是，在給