【正文】 個(gè)投資組合的收益的標(biāo)準(zhǔn)差；而、為風(fēng)險(xiǎn)因子i和j的標(biāo)準(zhǔn)差；為風(fēng)險(xiǎn)因子i和j的相關(guān)系數(shù)；為整個(gè)投資組合對(duì)分先因子i的敏感度，有時(shí)候也會(huì)被稱為Delta。 蒙特卡洛模擬法也被稱作隨機(jī)模擬法，它要首先建立一個(gè)概率模型或者說是隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解，然后通過對(duì)模型或者過程的直接觀察計(jì)算所求的參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，然后給出我們所求的問題的近似值，解的精度可以用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差表示。（3） 我們需要對(duì)模擬出結(jié)果加以分析，給出所求解的估計(jì)及其方差的估計(jì)，必要的時(shí)候我們要改進(jìn)模型以便提高這個(gè)估計(jì)的精度和模擬計(jì)算的效率。它主要應(yīng)用于期權(quán)類工具的風(fēng)險(xiǎn)度量，它持有期很短，持有其如果只有一天，那么正態(tài)法與其他兩種方法的差別不會(huì)很大；但是，如果持有期很長，那么正態(tài)法就不能夠很好地度量風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)檫@種方法是用線性展開來近似地映射風(fēng)險(xiǎn)，但是對(duì)于期權(quán)而言，其變動(dòng)性往往是非線性的，因此持有期變長以后，線性逼近與實(shí)際變動(dòng)之間的差距會(huì)越來越大。另外，蒙特卡洛模擬法是一種全值估計(jì)方法，體現(xiàn)了非線性資產(chǎn)的凸性，能夠有效地解決分析方法在處理又是非線性，同時(shí)又是非正態(tài)問題中所遇到的阻礙。又例如，我們往往會(huì)出現(xiàn)模型選擇的誤差。歷史模擬法和Delta的計(jì)算速度比較快，但是蒙特卡洛模擬法的計(jì)算量決定了它的計(jì)算速度；當(dāng)我們所考查的數(shù)據(jù)沒有代表性時(shí)，歷史模擬法會(huì)計(jì)算出錯(cuò)誤的VaR值，但是Delta和蒙特卡洛模擬法可以通過兩種已成熟的方式避免。這兩大缺陷分別是：市場缺陷以及操作缺陷。但是我們必須意識(shí)到，我國金融市場化程度顯然不高，而且還存在著許多的制度上和法律上的漏洞，讓我們?cè)趹?yīng)用VaR進(jìn)行分析時(shí)感到有點(diǎn)力不從心，從而使我們不能夠?qū)崿F(xiàn)很好地模擬。另外，利率、匯率并沒有完全市場化，一切都與宏觀調(diào)控政策存在千絲萬縷的聯(lián)系。在分形介質(zhì)中分子擴(kuò)散現(xiàn)象不能用標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散方程來描述，稱之為反常擴(kuò)散。在近十年里，由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在物理，工程,金融等領(lǐng)域及環(huán)境問題的研究方面得到廣泛的運(yùn)用，引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。 因此將分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型引入到風(fēng)險(xiǎn)管理中求出，不僅考慮了資產(chǎn)組合收益率的尖峰厚尾性，又給出了風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)數(shù)量化標(biāo)準(zhǔn)，這也正是本學(xué)位論文想要研究的主要內(nèi)容。在事實(shí)上，某一類最典型的非線性擴(kuò)散方程：常常用來描述多孔介質(zhì)方程。這些變化會(huì)導(dǎo)致VaR測(cè)算的結(jié)果較實(shí)際結(jié)果偏小，所以我們有必要引進(jìn)反常擴(kuò)散模型，來彌補(bǔ)之前的這一缺憾。連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型與微分方程之間有如下介紹的關(guān)系，見于參考文獻(xiàn)[1]。為穩(wěn)定增長Levy過程的首達(dá)時(shí)。通俗地說，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。也就是說數(shù)學(xué)期望是可以用算式平均來逼近的，即蒙特卡洛模擬法。再利用蒙特卡洛模擬法得到反常擴(kuò)散方程的解的圖像（）。假設(shè)服從均值和方差分別為和的正態(tài)分布，即，則，其概率密度函數(shù)為：?？梢缘玫? (45) 反常擴(kuò)散在非正態(tài)下引入VaR的計(jì)算在收益率不服從正態(tài)分布時(shí)，以往的辦法一般設(shè)定收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，然后利用ITO過程從而推導(dǎo)出VaR： (46)但是在本文中，在非正態(tài)分布條件下引入反常擴(kuò)散模型，用更加簡單直接高效率的方式破解這一難題。第5章 總結(jié)與展望 總結(jié)隨著金融市場、金融交易規(guī)模日趨擴(kuò)大，金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)隨之變大，因此對(duì)金融市場風(fēng)險(xiǎn)的分析研究變得尤其重要。采用實(shí)證和規(guī)范分析相結(jié)合的研究方法，篩選一段時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)，選擇適合中國風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境的VaR模型，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理運(yùn)用進(jìn)行實(shí)證分析，并提出相關(guān)政策建議。在比較了三種方法之后，我別具一格地提出了，在反常情形下，比如金融風(fēng)暴，不可抗力條件影響下的市場環(huán)境，即數(shù)據(jù)非正態(tài)分布環(huán)境下的解決方法：在VaR值計(jì)算方法蒙特卡洛模擬法中引進(jìn)反常擴(kuò)散模型。 展望 金融市場瞬息萬變，著名的銀行家美聯(lián)儲(chǔ)前主席格林斯潘說：銀行業(yè)實(shí)際上就是管理風(fēng)險(xiǎn)的行業(yè)。 我們應(yīng)當(dāng)堅(jiān)信，隨著我國市場化經(jīng)濟(jì)越發(fā)強(qiáng)壯，金融市場自由化指日可待，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理和風(fēng)險(xiǎn)度量的數(shù)學(xué)模型會(huì)越來越豐富多彩。從課題的選擇到論文的最終完成，呂老師始終都給予了細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持，并且在耐心指導(dǎo)論文之余，呂老師仍不忘拓展我們的文化視野，讓我們感受到了數(shù)學(xué)的美妙與樂趣。在未來的日子里，我會(huì)更加努力的學(xué)習(xí)和工作，不辜負(fù)父母對(duì)我的殷殷期望！我一定會(huì)好好孝敬和報(bào)答他們！30。值得一提的是，呂老師宅心仁厚，閑靜少言，不慕榮利，對(duì)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)，在他的身上，我們可以感受到一個(gè)學(xué)者的嚴(yán)謹(jǐn)和務(wù)實(shí)，這些都讓我們獲益菲淺，并且將終生受用無窮。 技術(shù)分析 而怎樣進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理？風(fēng)險(xiǎn)管理的方法能不能有效快速直接？這一連串的問題拷問著信息時(shí)代每一位求知者的內(nèi)心。本文研究的重點(diǎn)在于：研究風(fēng)險(xiǎn)管理與反常擴(kuò)散模型的關(guān)系，以及VaR在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的應(yīng)用。以往對(duì)于VaR的值的測(cè)算分為三種主流的方法，即文中提及的方差——協(xié)方差法，蒙特卡洛模擬法和歷史模擬法。VaR作為一種動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)管理方法，應(yīng)用于一些大型金融企業(yè)，對(duì)金融工具市場風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測(cè)評(píng)，中國也應(yīng)用在證券投資和銀行監(jiān)管中，表現(xiàn)出其較準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)性。用數(shù)學(xué)表達(dá)即 (47)其中為服從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。其中是初期資產(chǎn)價(jià)值，是收益率，在給定的置信度下的最低回報(bào)率為，則值就是末期價(jià)值均價(jià)減去末期價(jià)值最低值。這直接印證了，在反常擴(kuò)散下，經(jīng)典VaR計(jì)算方法都會(huì)使結(jié)果偏小而喪失準(zhǔn)確性。即 (321)而可通過反常模擬得到，固定，令，則， (322)其中是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量且滿足，由參考文獻(xiàn)[28]可以知道，可由以下方式生成 (323)其中，是上的均勻分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。偶然中包含著某種必然。已知的特征函數(shù)為： (314)上式見于參考文獻(xiàn)[1]。其Laplace變換為 (38)故有 (39)對(duì)上式做Laplace及Fourier變換，可以得出 (310)不同的等待時(shí)間和跳躍過程分布的選取導(dǎo)致不同的微分方程。假設(shè)游走粒子的跳躍時(shí)刻為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，以及在跳躍時(shí)刻粒子跳躍的步長也是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量……假設(shè)游走粒子在初始時(shí)刻的位置為，由此在時(shí)刻t，粒子經(jīng)過若干次的隨機(jī)跳躍后所在的位置是： ， (31)其中，.假設(shè)為隨機(jī)變量（）的聯(lián)合概率密度，因此跳躍長度的概率密度為 (32)等待時(shí)間的概率密度為 (33)經(jīng)典的理論表明當(dāng)平均等待時(shí)間以及跳躍長度的方差均有界時(shí)，即 (34) (35)此時(shí)，由中心極限定理可以得到收斂于正態(tài)分布，然而在很多情況下，平均等待時(shí)間或者跳躍長度的方差是無界的，此時(shí)常規(guī)的中心極限定理是不適用的?？傊?，反常擴(kuò)散模型可以得到在反常狀態(tài)下的精確解，彌補(bǔ)了這一空白。作為分形幾何和分?jǐn)?shù)微動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)階微積分在描述反常擴(kuò)散模型的現(xiàn)象之中起到了非常重要的作用。對(duì)許多物質(zhì)結(jié)構(gòu)和導(dǎo)電性的模擬，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有更強(qiáng)的優(yōu)勢(shì), 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)半自動(dòng)的動(dòng)力系統(tǒng)過程模擬和滲透結(jié)構(gòu)的模擬同樣重要。如任福堯等人于2006年已經(jīng)證明了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程：的解具體形式基本上依賴于潛在幾何的形狀。 反常擴(kuò)散應(yīng)用于的優(yōu)點(diǎn)所有上述所提到的模型是基于資產(chǎn)組合的概率分布滿足正態(tài)分布這一假設(shè)前提下得到結(jié)果的。各大金融機(jī)構(gòu)有關(guān)于貸款的各種數(shù)據(jù)仍然處于非公開的狀態(tài)，金融數(shù)據(jù)的采集仍然受到限制。而這一假設(shè)是所有金融模型的計(jì)算基礎(chǔ)。下面，我們通過一張表格來簡單了解三種方法的異同。 介紹完三種方法的各自應(yīng)用范圍、方式以及缺陷之后，我們將這三種方法進(jìn)行比較分析：歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法都能夠有效地估算包含期權(quán)類工具的投資組合，并且Delta只能夠估算包含少量持有期很短的期權(quán)類工具；當(dāng)投資組合相對(duì)應(yīng)的市場因素在歷史上出現(xiàn)的數(shù)值都能獲得時(shí)，歷史模擬法是我們最好的選擇。 但是，經(jīng)過長期的實(shí)踐，我們不難發(fā)現(xiàn)，蒙特卡羅模擬法有它的不足之處。 蒙特卡洛模擬法應(yīng)用范圍及缺陷 蒙特卡洛模擬法是三種方法中最高端的。 但是，在歷史模擬法中也存在一些缺陷，主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：第一，回報(bào)率的分布在整個(gè)樣本時(shí)期內(nèi)是固定不變的，假如歷史趨勢(shì)發(fā)生比較大的偏差；第二，歷史模擬法不能夠給我們提供比我們所觀察到的樣本中最小的回報(bào)率還要糟糕的預(yù)期損失；第三，樣本的大小會(huì)對(duì)VaR值造成比較大的影響，產(chǎn)生一個(gè)比較大的方差；第四，歷史模擬法不能夠作極端情景下的敏感性測(cè)試。（1） 我們必須針對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題來建立一個(gè)簡單而且便于實(shí)現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)模型，使得模型所求的解恰好是我們所建立模型的概率分布或者其某個(gè)數(shù)字特征，比如說是某一個(gè)事件的概率或者說是這個(gè)模型的期望值。 蒙特卡洛模擬法 基于蒙特卡羅模擬的計(jì)算，他的原理與我們的歷史模擬法比較相類似，所有不同的地方在于市場因子的變化不是來自于對(duì)歷史的觀測(cè)值，而是通過隨機(jī)數(shù)模擬得到的。（3） 運(yùn)用資產(chǎn)定價(jià)公式，根據(jù)模擬出來的風(fēng)險(xiǎn)因子的未來可能出現(xiàn)的N種可能的價(jià)格水平，求證出證券組合的N種未來盯市價(jià)值，并且與當(dāng)前所存在的風(fēng)險(xiǎn)因子的資產(chǎn)組合價(jià)值比較，得到證券組合未來的N個(gè)潛在損益，即損益分布。歷史模擬法假設(shè)投資組合的回報(bào)分布方式就是獨(dú)立同分布，市場因子在未來一段時(shí)間的波動(dòng)和歷史數(shù)據(jù)波動(dòng)完全一樣，其核心是利用過去一段時(shí)間內(nèi)所得的資產(chǎn)回報(bào)率數(shù)據(jù)，估算資產(chǎn)回報(bào)率的統(tǒng)計(jì)分布，再根據(jù)不一樣的分位數(shù)求得相對(duì)應(yīng)的置信水平下的VaR。歷史模擬法進(jìn)一步地假設(shè)數(shù)據(jù)在歷史上的變化會(huì)直接對(duì)未來變化構(gòu)成影響，但是方差——協(xié)方差法和蒙特卡洛模擬法則預(yù)先就已經(jīng)假定了數(shù)據(jù)的變化服從了特定的分布。 計(jì)算VaR值的方法在具體計(jì)算VaR值時(shí)，有三種不同的方法。比如說如果我們有某一個(gè)99%置信水平的在險(xiǎn)價(jià)值，就是VaR值為1000萬美元，這句話的意思就是，在給