運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式-wenkub
2024-11-01 00 本頁(yè)面
【正文】 述例子，函數(shù)構(gòu)造法證不等式揭示了函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，是二者的完美結(jié)合，同時(shí)也進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到函數(shù)在解決具體問(wèn)題中的重要作用。一、構(gòu)造函數(shù)解不等式例解不等式 810+x35x0 3(x+1)x+1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來(lái)做運(yùn)算較煩。R及的特征聯(lián)想到萬(wàn)能公式1+x21+tan2a角函數(shù)，令x=tanα(p2ap2)求解。例3已知不等式11112+++loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)nn+1n+22n123恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。例已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞1證：把a(bǔ)看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1又∵f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)1f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn。188。3221+x(1+x)(1+x)x(x0)1+x1111111=,ln(1+)=,ln(1+)=，…… 因而有l(wèi)n(1+)131411+12231+1+23ln(1+)=1nn+11+n11111111故：ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+……+ln(1+)+++……+ 123n234n+11111即ln(1+n)+++……+ 234n+1所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f(0)=0，即有l(wèi)n(1+x)（二）構(gòu)造函數(shù)②f(x)=ln(1+x)x(x0)分析：f162。22x(x+1)x(x+1)x1(x1)x+1211312413=,ln3=,ln4=，…… 因而有l(wèi)n22+133+144+15n1lnn n+1所以當(dāng)x1時(shí)，有f(x)f(1)=0，即有l(wèi)nx故：ln2188。ln4lnnn(n+1)x1lnx(x1)x+1ln2ln3ln4lnn1188。ln34188。(n1)180。188。3180。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（111+1)23都成立． nnn四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf39。1． 1+xa（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , +165。bf(a)B．bf(a)163。(x)=，∴當(dāng)1x0時(shí)，f162。(0 , +165。f(0)=0，即ln(x+1)x163。(1 , 0)時(shí)，g39。(x)0，即g(x)在x206。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0，11179。1．綜上可知：當(dāng)x1時(shí)，有x+1x+1∴當(dāng)x1時(shí)，g(x)179。不等式f(x)g(x)在(1 ,+165。)，考慮到F(1)=0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?立問(wèn)題，即當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,+165。)上為增函數(shù)，∴F(x)F(1)=10，∴當(dāng)x1時(shí)，g(x)f(x)0，即6f(x)g(x)，故在區(qū)間(1,+165。)上恒正，∴函數(shù)h(x)在(0 , +165。(0 , +165。(x)=xf39。(x)f(x)，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)．例5．【分析】 對(duì)于第（2）小問(wèn)，絕大部分的學(xué)生都會(huì)望而生畏．學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上．如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過(guò)渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的．（2）對(duì)g(x)=xlnx求導(dǎo)，則g39。=lnxln． 222當(dāng)0xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)=lnxlna+xG39。(x)179。R恒成立；記g(x)=xex，則g39。 , 1)上為增函數(shù)，在(1 , +165。(x)=exx1，2令h(x)=F39。)上為增函數(shù)，又h(x)在x=0處連續(xù)，∴h(x)h(0)=0，即F39。0）又f39。)上嚴(yán)格單調(diào)增加，從而f39。(x)0，得f(x)在[0 , +165。0時(shí)，不難證明xxx 在(0,+165。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0 , +165。)，f39。(x)0，即f(x)在x206。1xa1b=1，于是，即ln(1+x)179。1．163。bf(a)，故選A． F(x)=179。(1＋13n2)＞3n+1．證明：構(gòu)造函數(shù)f(n)=(1＋1)(1＋13n+1)(1＋13n2)＞33n+1．。(1＋3，由f(n+1)f(n)(1+)33n+1=3n+4=(3n+2)(3n+1)(3n+4)＞1，∵f(n)＞0，∴f(n+1)＞f(n)，即f(n)是自然數(shù)集N上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴(1＋1)(1＋14))上是減函數(shù)，由ab有xab8第五篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式構(gòu)造函數(shù)法證明不等式河北省 趙春祥不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一．由于證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，使其成為各種考試命題的熱點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)法證明不等式就是其常見(jiàn)題型．即有些不等式可以和函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)式，利用函數(shù)的有關(guān)特性，完成不等式的證明．一、構(gòu)造一元一次函數(shù)證明不等式例1設(shè)0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求證：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．證明：構(gòu)造一次函數(shù)f(x)= x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1