運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式-文庫吧在線文庫
【正文】 例解不等式1x2+20 x+11x21tan2a=cos2a于是可構(gòu)造三分析：由x206。22三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。ln4188。)上單調(diào)遞增。ln3188。188。(n1)nn（n2)180。lnn2180。188。g(x)．2已知函數(shù)f(x)=ln(1+x) xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)11，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明． x+11x1=【解析】由題意得：f162。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當(dāng)x1時，f(x)163。)時，g39。x． ∴l(xiāng)n(x+1)179。(1 , +165。(0 , +165。(x)+f(x)0，∴構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，則F39。(x)2[g()]39。(x)=aexx，∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴f39。(x)0．知g(x)在(165。(x)0，∴h(x)在(0 , +165。(x)在(0 , +165。(x)0，即f(x)，當(dāng)x1，a179。g(x)．【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1 , +165。f(0)=0，從而ln(1+x)179。af(b)163。……1，因此lnalnb179。(1 , 0)上為減函數(shù)；當(dāng)x0時，f39。(x)=x+2a=xx故F(x)在(0 , a)上為減函數(shù)，在(a , +165。)上連續(xù)，且f39。(x)=2x2n1+x)（x179。)．eee12xx1（x0），則F39。xex對x206。)上為增函數(shù)．從而當(dāng)x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)，∵F(a)=0，ba，∴F(b)0，即g(a)+g(b)2g(a+b)0．又設(shè)G(x)=F(x)(xa)ln2，則2G39。(x)f(x)，則移項(xiàng)后xf162。)時，恒有h(x)h(0)=0，即x3x2+ln(x+1)0，∴l(xiāng)n(x+1)x2x3，對任意正整數(shù)n，取x=1111206。(x)=0，從xxx而F(x)在(1,+165。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1 , +165。(x)=22，x+1(x+1)(x+1)x+1當(dāng)x206。(x)0，即f(x)在x206。0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。x． x+1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。 故有：ln2ln3ln4lnn1ln43180。(x)=1=1x1x所以當(dāng)x1時，有f(x)因而有l(wèi)n21,ln32,ln43，……，lnnn1ln2188。)上單調(diào)遞增。lnn ln2ln3ln4lnn20 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179。3二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問題。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。app+bqq思路：不妨視b為常量，作輔助函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)法證之。g(x)=39。2222例4．設(shè)a、b、c為三角形三邊長，若a+b+c=1，證明：a+b+c+4abc思路：先用分析法，再以a、b、c為三個零點(diǎn)，構(gòu)造三次函數(shù)去證。(x)（22x)=(x)故有179。22223216234。思路：以x、y、z為三個零點(diǎn)，構(gòu)造三次函數(shù)去證。(1,1)，證明：abc+2a+b+c思路：以a為主元構(gòu)造函數(shù)f(a)，再由函數(shù)單調(diào)性可證。本文將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題予以解決，力爭突破解題思維，以求解題方法創(chuàng)新。(0,1)，證明：x(1y)+y(1z)+z(1x)1證明：作f(x)=x(1y)+y(1z)+z(1x)=(1yz)x+y(1z)+z此為關(guān)于x的一次函數(shù)由于 f(0)=y(1z)+z=(y1)(1z)+11，f(1)=1yz1故有 x(1y)+y(1z)+z(1x)1類題演練：設(shè)x、y、z206。11111由于 f()=(x)(y)(z)163。u163。727也成立。(0,p2)思路：作輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)法證之。所以x206。app+bqq類題演練：已知：x、y0,a1，求證：(x+y)axa+ya由上述例子，函數(shù)構(gòu)造法證不等式揭示了函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，是二者的完美結(jié)合，同時也進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)在解決具體問題中的重要作用。R及的特征聯(lián)想到萬能公式1+x21+tan2a角函數(shù)，令x=tanα(p2ap2)求解。例已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞1證：把a(bǔ)看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1又∵f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)1f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性。188。22x(x+1)x(x+1)x1(x1)x+1211312413=,ln3=,ln4=，…… 因而有l(wèi)n22+133+144+15n1lnn n+1所以當(dāng)x1時，有f(x)f(1)=0，即有l(wèi)nx故：ln2ln4188。(n1)180。3180。1． 1+xa（2007
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