運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式-文庫(kù)吧
2024-11-01 00:39 本頁(yè)面
【正文】 題中出現(xiàn)+=()+5()3x+1x+1x+1(x+1)f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)+5()x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤+1x+122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于x，解x+1x+1之得：－1＜x＜2或x＜－2。例解不等式1x2+20 x+11x21tan2a=cos2a于是可構(gòu)造三分析：由x206。R及的特征聯(lián)想到萬(wàn)能公式1+x21+tan2a角函數(shù)，令x=tanα(p2ap2)求解。1tan2a解：令x=tanα(a)0，從 222tana+1pp1pp3而2sin2asina10222。sina1∴a∴tanα＞,∴x＞26233。3二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問題。例3已知不等式11112+++loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)nn+1n+22n123恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)712∴f(n)loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)n恒121237121成立,必須有l(wèi)oga(a1)+∴l(xiāng)oga(a1)1，而a＞1，∴a1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=∴1＜a＜1+1+5∴a的取值范圍為（1，）。22三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。例已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞1證：把a(bǔ)看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1又∵f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)1f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性。∴f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+10,從而：(b+c)a+bc+10,即證：ab+bc+ca＞1 例已知a+b+n=p，求證：x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2+y2+z2(2xycosa+2yzcosb+2zxcosn)=2x22x(ycosa+zcosn)+y2+z22yzcosb,其中D=4(ycosa+zcosn)24(y2+z22yzcosb)=4(ysinazsinn)2163。0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn。第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證特殊數(shù)列不等式數(shù)列不等式求證題目1：求證1111111+1++…+ln(1+n)1++++…+題目2：求證題目3：求證234n+1234n2n(n+1)ln2ln3ln4188。188。lnn ln2ln3ln4lnn234188。188。n1n構(gòu)造函數(shù)法證特殊數(shù)列不等式題目1：求證12111111+1++…+ln(1+n)1++++…+ 34n+1234n(一)構(gòu)造函數(shù)①f(x)=ln(1+x)分析：f162。(x)=x(x0)1+x1(1+x)xx=0,函數(shù)f(x)在(0,+165。)上單調(diào)遞增。221+x(1+x)(1+x)x(x0)1+x1111111=,ln(1+)=,ln(1+)=，…… 因而有l(wèi)n(1+)131411+12231+1+23ln(1+)=1nn+11+n11111111故：ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+……+ln(1+)+++……+ 123n234n+11111即ln(1+n)+++……+ 234n+1所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f(0)=0，即有l(wèi)n(1+x)（二）構(gòu)造函數(shù)②f(x)=ln(1+x)x(x0)分析：f162。(x)=x11=所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)233nn11111111故：ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+……+ln(1+)綜上有：12111111ln(1+n)1++++…+ +1++…+34n+1234n小結(jié)：記住函數(shù)不等關(guān)系㈠題目2：求證x(三)構(gòu)造函數(shù)③f(x)=lnxx1(x0)x+11(x+1)(x1)x2+1分析：f162。(x)==0,函數(shù)f(x)在(0,+165。)上單調(diào)遞增。22x(x+1)x(x+1)x1(x1)x+1211312413=,ln3=,ln4=，…… 因而有l(wèi)n22+133+144+15n1lnn n+1所以當(dāng)x1時(shí)，有f(x)f(1)=0，即有l(wèi)nx故：ln2ln3ln4188。188。lnn綜上有1234n2n12xxxx……xx= 3456nn+1n(n+1)2ln2ln3ln4188。188。lnnn(n+1)x1lnx(x1)x+1ln2ln3ln4lnn1188。188。題目3：求證234nn小結(jié)：記住函數(shù)不等關(guān)系㈡)構(gòu)造函數(shù)④f(x)=lnx(x1)(x1（注：此函數(shù)實(shí)質(zhì)和構(gòu)造函數(shù)二一樣）分析：f162。(x)=1=1x1x所以當(dāng)x1時(shí)，有f(x)因而有l(wèi)n21,ln32,ln43，……，lnnn1ln2ln3ln4188。188。lnn1180。2180。3180。4188。188。（n2)1
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