運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式-免費(fèi)閱讀
【正文】 …0，故【解析】F(x)=，F(xiàn)39。(0 , +165。)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0，故當(dāng)x0時(shí)，有f(x)g(x)179。)上嚴(yán)格單調(diào)增加，∴f(x)f(0)=0（x0），即2x+x22(1+x)ln(1+x)0，2x+x22(1+x)ln(1+x)，故(1+x)1+1xe1+x2（x0）．【解析】f162。39。(x)=exx1，則h39。(x)=exxex=(1x)ex；當(dāng)x1時(shí)，g39。(x)0．ln2=lnxln(a+x)；當(dāng)x0時(shí)，因此G(x)在(0 , +165。(x)=lnx+1．在g(a)+g(b)2g(數(shù)，設(shè)F(x)=g(a)+g(x)2g(a+b)中以b為主變?cè)獦?gòu)造函2a+xa+xa+x)，則F39。)，則有l(wèi)n(+1)23． nnnn【點(diǎn)評(píng)】我們知道，當(dāng)F(x)在[a , b]上單調(diào)遞增，則xa時(shí)，有F(x)F(a)．如果f(a)＝j(luò)(a)，要證明當(dāng)xa時(shí)，f(x)j(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－j(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo)．也就是說(shuō)，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F39。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=23x的圖象的下方． 3【點(diǎn)評(píng)】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式．讀者也可以設(shè)F(x)=f(x)g(x)做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法． 例3．【分析】本題是山東卷的第（2）問(wèn)，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令1=x，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x0n時(shí)，恒有l(wèi)n(x+1)x2x3成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3x2+ln(x+1)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明．13x3+(x1)2 【解析】 令h(x)=xx+ln(x+1)，則h162。)上恒成12212x+lnxx3，只需證明在區(qū)間(1,+165。0，x+1111163。(x)0；當(dāng)x206。)上為減函數(shù)；故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 , 0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0 , +165。af(b)C．a(chǎn)f(a)163。(x)f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿足ab，求證：af(a)bf(b)．五、主元法構(gòu)造函數(shù)1+x)x，g(x)=xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)=ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln2．2六、構(gòu)造二階導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導(dǎo)）【例6】已知函數(shù)f(x)=aex12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a=1，求證：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1+x．七、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例7】證明：當(dāng)x0時(shí)，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設(shè)a179。188。188。ln4(x)=x11=所以當(dāng)x0時(shí)，有f(x)233nn11111111故：ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+……+ln(1+)綜上有：12111111ln(1+n)1++++…+ +1++…+34n+1234n小結(jié)：記住函數(shù)不等關(guān)系㈠題目2：求證x(三)構(gòu)造函數(shù)③f(x)=lnxx1(x0)x+11(x+1)(x1)x2+1分析：f162。4第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證特殊數(shù)列不等式數(shù)列不等式求證題目1：求證1111111+1++…+ln(1+n)1++++…+題目2：求證題目3：求證234n+1234n2n(n+1)ln2解：設(shè)f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)712∴f(n)loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)n恒121237121成立,必須有l(wèi)oga(a1)+∴l(xiāng)oga(a1)1，而a＞1，∴a1＜12123a數(shù)。但注意到8102323x+5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)+=()+5()3x+1x+1x+1(x+1)f(x)=x3+5x去投石問(wèn)路。p1b當(dāng)bap1時(shí)，f(a)是減函數(shù)；當(dāng)bap1時(shí)，f(a)是增函數(shù)；qq當(dāng)b=ap1時(shí)，即當(dāng)a=bp時(shí)，f(bp)=0 故a179。(x)是增函數(shù)，又f39。a2+b2+c2+4abc=12(ab+bc+ca)+4abc即要證 ab+bc+ca2abc4作f(x)=(xa)(xb)(xc)，則f(x)=x3(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)xabc 由a+b+c=1，a、b、c為三角形三邊長(zhǎng)，有0a、b、c故有f()0222。（12x)+=(1x)(2x+x+1)727179。235。3249。由a、b、c206。第一篇：運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式[本站推薦]運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式羅小明（江西省吉水二中331600）不等式證明方法較多，本文介紹主元、零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)證明不等式，以飧讀者。(1,1)知，f(1)f(a)又f(1)=bc+1bc=(1b)(1c)0c 故有f(a)0即abc+2a+b+。(x+y+z)234。0，0163。ab+bc+ca2abc211412所以 a+b+c+4abc222類題演練：已知：a、b、c、A、B、C206。(0)=0故當(dāng)x206。0，有f(a)179。解：將原不等式化為(232)+5()x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤+1x+122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等
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