【正文】 (akak+1)ak+2.232k=1n，放縮另外的項(xiàng)； 例求證：11117+++L+ 122232n2例已知an=5n41對(duì)任何正整數(shù)m，, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)iin＞(1+n)m二、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn。abbcca，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當(dāng)n206。*利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。+2n+1(n2,n206。3n+1248。1232。2=n231。231。1+=ln 247。++L+247。252。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。N*證明：（1）對(duì)于n206。1n+k163。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。231。231。第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明不等式設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=43an13180。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。故錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。再將錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。n，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設(shè)an=180。,a3163。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，、先放縮再求和（或先求和再放縮）例函數(shù)f（x）=4x1+4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）n+12n+11(n206。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。L.\當(dāng)k179。2+2180。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。又錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn