【正文】 在(0 , +165。(x)=11x=，∴當1x01+x(1+x)2(1+x)2時，f39。(x)f39。)上為減函數(shù)，∴g(x)在x=1時，取得最大值，即g(x)max=g(1)=（2）記F(x)=f(x)(1+x)=ex111，∴a179。(x)0，因此F(x)在(0 , a)內(nèi)為減函數(shù)；當xa時，F(xiàn)39。)上單調(diào)遞增，∴x206。g(0)=0，即ln(x+1)+【點評】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)163。0，∴l(xiāng)n(x+1)163。)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf39。4188。lnn1180。188。n1n構(gòu)造函數(shù)法證特殊數(shù)列不等式題目1：求證12111111+1++…+ln(1+n)1++++…+ 34n+1234n(一)構(gòu)造函數(shù)①f(x)=ln(1+x)分析：f162?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+10,從而：(b+c)a+bc+10,即證：ab+bc+ca＞1 例已知a+b+n=p，求證：x2+y2+z2179。參考文獻：姚允龍．數(shù)學分析[M]．上海：復旦大學出版社，2002李勝宏，李名德．高中數(shù)學競賽培優(yōu)教程（專題講座）[M]．杭州：浙江大學出版社，2009第二篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式構(gòu)造函數(shù)巧解不等式湖南 黃愛民函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。證明：作輔助函數(shù)f(x)=tanx+2sinx3x，則f(x)=39。727成立。(1,1)，證明：xy+yz+zx+10二．零點法例3．若x、y、z滿足x+y+z=1且為非負實數(shù)，證明：0163。一．主元法例1．已知：a、b、c206。 =xy+yz+xz2xyz163。0,p1,1p+1q=1，求證：ab163。sina1∴a∴tanα＞,∴x＞26233。ln4題目3：求證234nn小結(jié)：記住函數(shù)不等關(guān)系㈡)構(gòu)造函數(shù)④f(x)=lnx(x1)(x1（注：此函數(shù)實質(zhì)和構(gòu)造函數(shù)二一樣）分析：f162。ln3ln(x+1)163。(1 , 0)上為增函數(shù)；當x0時，f162。(0 , +165。(x)=2xx=；當x1時，F(xiàn)39。(x)+f(x)，容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導即可完成證明．若題目中的條件改為xf162。R恒成立，即a179。)上為增函數(shù)，又F(x)在x=0處連續(xù)，∴F(x)F(0)=0，即f(x)1+x．【點評】當函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為mf(x)（或mf(x)）恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．因此，利用導數(shù)求函數(shù)最 值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．例7．【解析】 對不等式兩邊取對數(shù)得(1+)ln(1+x)1+1xx，化簡為2(1+x)ln(1+x)2x+x2，2(l1+x)，設(shè)輔助函數(shù)f(x)=2x+x22(1+x)ln(，f39。(x)=0，F(xiàn)39。(x)f(x)ln179。(1＋13n2)＞33n+1．。1xa1b=1，于是，即ln(1+x)179。0時，不難證明xxx 在(0,+165。)上為增函數(shù)，又h(x)在x=0處連續(xù)，∴h(x)h(0)=0，即F39。(x)179。(x)=xf39。)，考慮到F(1)=0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?立問題，即當x1時，F(xiàn)(x)F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,+165。(x)0，即g(x)在x206。(x)=，∴當1x0時，f162。(n1)180。188。22x(x+1)x(x+1)x1(x1)x+1211312413=,ln3=,ln4=，…… 因而有l(wèi)n22+133+144+15n1lnn n+1所以當x1時，有f(x)f(1)=0，即有l(wèi)nx故：ln2188。R及的特征聯(lián)想到萬能公式1+x21+tan2a角函數(shù)，令x=tanα(p2ap2)求解。所以x206。727也成立。11111由于 f()=(x)(y)(z)163。本文將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題予以解決，力爭突破解題思維，以求解題方法創(chuàng)新。思路：以x、y、z為三個零點，構(gòu)造三次函數(shù)去證。(x)（22x)=(x)故有179。g(x)=39。因此要求同學們多分析數(shù)學題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179。)上單調(diào)遞增。3180。 故有：ln2ln3ln4lnn10，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。(x)=22，x+1(x+1)(x+1)x+1當x206。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。)時，恒有h(x)h(0)=0，即x3x2+ln(x+1)0，∴l(xiāng)n(x+1)x2x3，對任意正整數(shù)n，取x=1111206。)上為增函數(shù)．從而當x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)，∵F(a)=0，ba，∴F(b)0，即g(a)+g(b)2g(a+b)0．又設(shè)G(x)=F(x)(xa)ln2，則2G39。)．eee12xx1（x0