運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式(已修改)
2024-11-01 00:39 本頁面
【正文】 第一篇：運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式[本站推薦]運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法巧證不等式羅小明（江西省吉水二中331600）不等式證明方法較多，本文介紹主元、零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)證明不等式，以飧讀者。關(guān)鍵字：函數(shù)不等式不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，也是高考、競賽中的一大熱點(diǎn)。本文將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題予以解決，力爭突破解題思維，以求解題方法創(chuàng)新。這種解題思路使解答簡捷，達(dá)到出奇制勝的效果。一．主元法例1．已知：a、b、c206。(1,1)，證明：abc+2a+b+c思路：以a為主元構(gòu)造函數(shù)f(a)，再由函數(shù)單調(diào)性可證。證明：視a為主元構(gòu)造函數(shù)f(a)=(bc1)a+2bc，此為一次函數(shù)。由a、b、c206。(1,1)知，f(1)f(a)又f(1)=bc+1bc=(1b)(1c)0c 故有f(a)0即abc+2a+b+。例2．設(shè)x、y、z206。(0,1)，證明：x(1y)+y(1z)+z(1x)1證明：作f(x)=x(1y)+y(1z)+z(1x)=(1yz)x+y(1z)+z此為關(guān)于x的一次函數(shù)由于 f(0)=y(1z)+z=(y1)(1z)+11，f(1)=1yz1故有 x(1y)+y(1z)+z(1x)1類題演練：設(shè)x、y、z206。(1,1)，證明：xy+yz+zx+10二．零點(diǎn)法例3．若x、y、z滿足x+y+z=1且為非負(fù)實(shí)數(shù)，證明：0163。xy+yz+xz2xyz163。思路：以x、y、z為三個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造三次函數(shù)去證。證明：令f(t)=(tx)(ty)(tz)，則f(t)=t(x+y+z)t+(xy+yz+xz)txyz記u=xy+yz+xz2xyz 則u=2f()+211432727（1）當(dāng)x、y、z均不超過12時(shí)，233。3249。(x+y+z)234。11111由于 f()=(x)(y)(z)163。234。 =22223216234。235。故有0163。u163。727成立。2（2）當(dāng)x、y、z只可能有一個(gè)大于1yz4x時(shí)，不妨設(shè)x1212由于f()179。(x)（22x)=(x)故有179。u179。（12x)+=(1x)(2x+x+1)727179。0，0163。u163。727也成立。由（1）、（2）知0163。xy+yz+xz2xyz163。2222例4．設(shè)a、b、c為三角形三邊長，若a+b+c=1，證明：a+b+c+4abc思路：先用分析法，再以a、b、c為三個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造三次函數(shù)去證。證明：由a+b+c=1219。a2+b2+c2+4abc=12(ab+bc+ca)+4abc即要證 ab+bc+ca2abc4作f(x)=(xa)(xb)(xc)，則f(x)=x3(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)xabc 由a+b+c=1，a、b、c為三角形三邊長，有0a、b、c故有f()0222。ab+bc+ca2abc211412所以 a+b+c+4abc222類題演練：已知：a、b、c、A、B、C206。R+，且有a+A=b+B=c+C=k，證明：aB+bC+cAk三．導(dǎo)數(shù)法例5．證明：tanx+2sinx3x，x206。(0,p2)思路：作輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)法證之。證明：作輔助函數(shù)f(x)=tanx+2sinx3x，則f(x)=39。1cosx+2cosx3，記g(x)=f(x)有39。g(x)=39。2sinxcosx2sinx=2sinx（1cosx1)0，知f39。(x)是增函數(shù)，又f39。(0)=0故當(dāng)x206。(0,p)時(shí)，有f(x)0，從而有f(x)f(0)=039。所以x206。(0,p)，都有tanx+2sinx3x例6．已知：a、b179。0,p1,1p+1q=1，求證：ab163。app+bqq思路：不妨視b為常量，作輔助函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)法證之。證明：作f(a)=app+bqqab，則f(a)=a39。p1b當(dāng)bap1時(shí)，f(a)是減函數(shù)；當(dāng)bap1時(shí)，f(a)是增函數(shù)；qq當(dāng)b=ap1時(shí)，即當(dāng)a=bp時(shí)，f(bp)=0 故a179。0，有f(a)179。0，即ab163。app+bqq類題演練：已知：x、y0,a1，求證：(x+y)axa+ya由上述例子，函數(shù)構(gòu)造法證不等式揭示了函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，是二者的完美結(jié)合，同時(shí)也進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)在解決具體問題中的重要作用。參考文獻(xiàn)：姚允龍．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002李勝宏，李名德．高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（專題講座）[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2009第二篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式構(gòu)造函數(shù)巧解不等式湖南 黃愛民函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解題，是一種制造性的思維活動(dòng)。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。一、構(gòu)造函數(shù)解不等式例解不等式 810+x35x0 3(x+1)x+1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算較煩。但注意到8102323x+5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且
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