【正文】 第一篇：例談運用構造法證明不等式 新課程數(shù)學 新課程數(shù)學新課程例談運用構造法證明不等式在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發(fā)，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯(lián)想，構造一個與不等式相關的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。一、構造向量證明不等式 例1：證明7x+2(9x2)163。9，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x, 又ab ≤|a||b|，所以9x2)的數(shù)量積，7x+2(9x2)163。(7)2+(2)2x2+(9x2)=9當且僅當b=λa(λ0)時等號成立，故由立。x7+9x22l0得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a||b|≥ab ,為使 ab為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構造b=(1 , 2，1)222于是|a||b|=(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6（1－y)1＋(x+y3)2+(2x+y6（）1）－1 ab＝222所以(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6179。1（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。即二、構造復數(shù)證明不等式22例求證：x+y+2221 6x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。22簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。22+2222此題也可構造向量來證明。三、構造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。a2+ac+c2當且僅當111=+時取等號。bac簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構造如下圖形： 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。 如圖（1）則∠AOC＝120176。，AB=a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。+bcsin60176。=acsin120176。，即ab+bc=ac 222故當且僅當111=+時取等號。bac四、構造橢圓證明不等式 例5：求證：4213 163。49x22x163。33簡析與證明：49x2的結構特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結合思想。于是令 y=49x2(y179。0)，則其圖象是橢圓圖（1）x2y2+=14的上半部分，設y2x=m，于是只需證494213, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截163。m163。332，0）3距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（時，m有最小值為m=4；當直線y =2x＋m與橢圓上3半部分相切時，m有最大值。236。y=2x+m2 2 由 237。2 得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 2238。9x+y=4令△= 4（52－9m2）=0 得：m=圖（2）213213或m=－（舍）33即m的最大值為421342132132，故163。m163。，即163。49x2x163。33333五、構造方程證明不等式例6：設 aa…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n 不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + …+ an2)均成立簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構造一元二次方程：(a12 + a22 + … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0 當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構造數(shù)列證明不等式 例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn n2nn1212n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+122 n－1112=[(1+2n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥n22n1=n22例8：設任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：n12112+179。1a21b21ab簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a1，1q則：112424+=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b2 1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構造函數(shù)證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù) 而 f(1)=－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0 ∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1 此題還可由題設構造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構造對偶式證明不等式例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設an =(1+1)(1+構造對偶式：bn =11)…(1+) 43n233n+1112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1…， = … 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 311) 33n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（2）運用構造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時機地運用構造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新能力。（本文于2004年在《高中數(shù)學教與學》第10期上發(fā)表）第二篇：例談運用構造法證明不等式例談運用構造法證明不等式湖北省天門中學薛德斌在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發(fā)，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯(lián)想，構造一個與不等式相關的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。一、構造向量證明不等式例1：證明7x+2(9x2)163。9，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又ab ≤|a||b|，所以7x+9x2)的數(shù)量積，2(9x2)163。(7)2+(2)2x2+(9x2)=9當且僅當b=λa(λ0)時等號成立，故由時，等號成立。x7+9x22x=,λ=1，即 x =7l0得：（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a||b|≥ab ,為使 ab為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構造b=(1 , 2，1)222于是|a||b|=(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6（1－y)1＋(x+y3)2+(2x+y6（）1）－1 ab＝222所以(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6179。1（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。即二、構造復數(shù)證明不等式22例x+y+2221 6x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。22簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。22+2222此題也可構造向量來證明。三、構造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。且僅當a2+ac+c2當111=+時取等號。bac簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構造如下圖形：作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。 如圖（1）則∠AOC＝120176。，AB=a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。+bcsin60176。=acsin120176。，即222ab+bc=ac故當且僅當111=+時取等號。bac圖（1）四、構造橢圓證明不等式例5：求證：42 163。49x22x163。33簡析與證明：49x2的結構特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結合思想。于是令 y=49x2(y179。0)，則其圖象是橢x2y2+=1圓4的上半部分，設y2x=m，于是只需49證42163。m163。, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。由 237。24，0）時，m有最小值為m=；當33236。y=2x+m22238。9x+y=4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0令△= 4（52－9m2）=0 得：m=22或m=－（33即m的最大值為424222，故163。m163。，即163。49x2x163。 33333五、構造方程證明不等式例6：設 aa…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構造一元二次方程：(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構造數(shù)列證明不等式2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn nn n1212n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左12邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2