【正文】 1112424+，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b1q1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù)而 f(1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構(gòu)造對偶式證明不等式例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設(shè)an =(1+1)(1+構(gòu)造對偶式：bn = 11)…(1+) 43n23n+1 112583n43n1)…(1+)= …… 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+ 3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 11) n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（3）不時機地運用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新能力。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。一、構(gòu)造函數(shù)利用判別式證明不等式 ①構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0恒成立。：a,b,c206。234。235。236。2 消去c得： a+(b2)a+b2b+1=0，此方程恒成立，22238。0，即：0163。233。同理可求得a,c206。0,33② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。,b,c,d206。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36632abc二、構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式﹤1，b﹤1，c﹤1，求證：ab+bc+ac﹥：令f(x)=(b+c)x+bc+1為一次函數(shù)。(1,1)時恒有f(x)﹥∵a206。三、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式aba+b+,b206。R+，∴a+b+ab﹥a+b，∴f(a+b+ab)﹥f(a+b)故有： aba+b+﹥ 1+a1+b1+a+：當x﹥0時，x ﹥ln(1+x)。)上是增函數(shù)，從而，當x﹥0時，f(x)=xln(1+x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1+x)成立。四、構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式xx(x185。：﹤x212xxxxx2xx++＝解析：設(shè)f(x)=(x185。當x﹥0時，12x﹤0，故f(x)﹤0；當x﹤0時，依圖象關(guān)于y軸對稱知f(x)﹤0。0)﹤212x評注：這里實質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關(guān)健。故當x185。新教材體現(xiàn)了以人的發(fā)展為本的教學理念；向?qū)W生提供了現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學習素材；為學生提供了探究、交流的操作平臺；展現(xiàn)了知識的形成與應用過程；能夠最大限度地滿足不同學生發(fā)展的需求。然而，我們作為教師是否能夠充分利用好教材，改變過去教學中存在的一些問題。下面談?wù)劚救嗽跀?shù)學課堂教學中讓學生主動參與學習的幾點做法。（1）要使學生主動參與學習，必須使學生對學習有興趣。正是因為這樣，很多教育家都很重視對學生學習興趣的培養(yǎng)。兩千多年后，人民教育家陶行知先生又從自己豐富的教學實際經(jīng)驗出發(fā)，認為“學生有了興味就肯用全副精神去做事，學與樂不可分”。他們都認為“好學”對教育非常重要。（2）要使學生有興趣，必須留給學生學習的自由。學生并不只受教于老師，而且自己也獨立學習。許多教育事實也反映出，真正的學習并不是由教師傳授給學生，而是出自學生本身，我們應該讓學生自發(fā)地主動地學習，留給學生充分的自由，讓學生自己找到并發(fā)現(xiàn)、糾正自己的***。比如，《打折銷售》這一節(jié)，如果課堂上就單純地出示例題，然后分析題意，給出解答過程，接著再模仿練習。那么這類問題雖然與實際生活相關(guān)，但學生卻未必有多大興趣。而且在此過程中，學生也自然會聯(lián)想到各個環(huán)節(jié)中可能出現(xiàn)的問題，比如標價與銷量的關(guān)系，進價、標價、售價與打折和利潤之間的關(guān)系，這樣需要學生鞏固、提高的知識可能自然就解決了。教師往往只根據(jù)教材內(nèi)容設(shè)計教學過程，最容易忽視學生學習與發(fā)展的實際情況。如果我們考慮到學生的學習潛能和學生的最近發(fā)展區(qū)，課堂上交給學生恰當?shù)闹鲃訖?quán)，情況就大不一樣了。二、發(fā)揮學生的主體作用，引導學生積極主動參與教學過程由于數(shù)學教學的本質(zhì)是數(shù)學思維活動的展開，因此數(shù)學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數(shù)學思維活動。這就要求我們在教學過程中為學生創(chuàng)造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點：（1）巧創(chuàng)激趣情境，激發(fā)學生的學習興趣。（2）運用探究式教學，使學生主動參與。只有達到這樣的境地，才會真正實現(xiàn)學生的主動參與。變式教學是對數(shù)學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識點間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學設(shè)計方法。三、強化交流和合作，倡導開放的教學活動方式相對而言，傳統(tǒng)課堂教學較為重視師生之間的聯(lián)系、溝通，而忽略學生之間的相互聯(lián)系，忽視發(fā)揮學生群體在教學中的作用。為此，我們以強化小組交流與合作學習為核心，徹底改變課堂教學中“教師主講，學生主聽”的單一的教學組織形式，促進各個層次學生的共同發(fā)展。在教學的進行過程中，可以把學生分成幾個小組進行合作與交流，這種小組的形式縮短了學生與學生之間的距離，增強了學生間交往的機會，有利干小組內(nèi)成員的交流和含作。小組內(nèi)的交流與合作學習主要以協(xié)同活動為中介實現(xiàn)的，因此我們在組織小組交流與合作學習活動中，應把需要討論、互相啟發(fā)、反復推敲的問題布置給學習小組，讓小組圍繞問題進行交流和合作學習。（3）注意培養(yǎng)學生的合作意識，訓練學生的合作技能。不斷向?qū)W生傳授合作的基本枝能，使他們學會既善于積極主動地表現(xiàn)自己的意見，敢于說出不問的看法，又善于傾聽別人的意見，相互啟迪，并能夠綜合吸收各種不同的觀點，共同尋找解決問題的思路。四、適當進行數(shù)學開放題教學。由于它具有與傳統(tǒng)封閉型題不同的特點，因此在數(shù)學教學中有其特定功能。例如，有這樣一道題目：育紅學校七年級學生步行到郊外旅行。根據(jù)上面的事實提出問題并嘗試去解答。這樣學生恰恰也有興趣去思考，能夠積極地參與到問題的討論中來，能夠積極提出各種各樣的方案。當然，由于數(shù)學開放題的教學費時太多，而課堂教學受課時的限制，因此，需要適當控制問題的開放程度，必要時可先作一些鋪墊。數(shù)學新課程教學心得2數(shù)學新課程的實施已經(jīng)全面鋪開。要善于引導學生自己去學，真正成為課堂的主人。以下是本人在學習數(shù)學新課程教學中的幾點心得體會：一、教學理念上的差異新課程標準理念要求教師從片面注重知識的傳授轉(zhuǎn)變到注重學生學習能力的培養(yǎng)，教師不僅要關(guān)注學生學習的結(jié)果，更重要的是要關(guān)注學生的學習過程，促進學生學會自主學習、合作學習，引導學生探究學習，讓學生親歷、感受和理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力，重視學生的可持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)學生終身學習的能力。在教學中讓學生自己觀察，讓學生自己思考，讓學生自己表述，讓學生自己動手，讓學生自己得出結(jié)論。數(shù)學中很多的結(jié)論和證明并沒有直接給出，而是首先通過思考題，設(shè)置問題情境，讓學生自己獨立思考、能動探究，然后在教師的引導下得出正確結(jié)論。教師要在反思自己教學行為的同時，觀察并反思學生的學習過程，檢查、審視學生在學習過程中學到了什么，遇到了什么，形成了怎樣的能力，發(fā)現(xiàn)并解決了什么問題，這種反思有利于學生觀察能力、自學能力、實驗能力、思維能力和創(chuàng)新能力的提高。三、教學方式、方法上差異長期以來，教學內(nèi)容的安排多以知識的邏輯為主線，忽視了教育的邏輯和接受的邏輯，即教材中的章節(jié)理所當然地成為教學的單元，教材內(nèi)容先后順序無一變動地成為教學內(nèi)容的安排順序。新課程標準告訴我們，在教學活動中，教師應成為組織者、引導者、促進者和參與者，教師的教學方法應該靈活多樣，教學過程是師生交往共同發(fā)展的互動過程。新課標也注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合，通過各種信息技術(shù)及各種軟件使學生更能直觀的理解、認識數(shù)學的本質(zhì)，并且強調(diào)學生動手能力、實驗能力的培養(yǎng)。四、數(shù)學知識應用的實踐化和生活化新課標要求數(shù)學知識應用的實踐化和生活化，要求數(shù)學理論與實踐緊密聯(lián)系起來，即為“在解決問題中學習”的理念。在我們?nèi)粘Ｉ钪谐錆M著許多數(shù)學知識，在教學時融入生活中的數(shù)學，能使學生對數(shù)學感到不陌生，化枯燥的學習為生動接受，進而使他們感到生活與數(shù)學密切相關(guān)的道理，感到數(shù)學就在身邊，對數(shù)學產(chǎn)生親切感，激發(fā)他們學習數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的熱望。當前，教學方法五彩紛呈，舉手投足不知所措，聽了專家的報告，頓覺有晃然XX之感：先學一家，融匯白某某，發(fā)展創(chuàng)新，自成一家；先入格，后出格，入格求形似，出格求神似，一語道的，教學切不可趕時髦，擺花架子，盲目追隨，死板硬套，而應該因人而異。教法要結(jié)合實際，就地取材，靈活機動，要因人而異。生源不同，各有千秋，要針對學生，因材施教，不可照搬照套。數(shù)學新課程教學心得3在《小學數(shù)學新課程教學法》緒論中有這樣一段話:“小學數(shù)學學科教學的基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，最終目的是為學生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，實現(xiàn)三個目標——人人學有價值的數(shù)學；人人都能獲得必需的數(shù)學；不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，《小學數(shù)學新課程教學法》讀后感。這讓我感到很苦惱。重視興趣、重視應用、重視過程是數(shù)學教學走出困境的法寶。比如，低年級的數(shù)學課，要多給學生創(chuàng)設(shè)游戲的情景，游戲活動符合低年級孩子好奇、好動的心理特點。重視應用，就要積極引導學生尋找生活中的原型，并嘗試將所學知識運用于實際，對其他學科中出現(xiàn)的數(shù)學問題進行研究，尋求解決的策略，通過運用，培養(yǎng)學生獲取新知識的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，提高學生創(chuàng)新能力，讀后感《小學數(shù)學新課程教學法》讀后感》。二、要讓學生認識到學習數(shù)學的必要性和重要性。同時，緊密結(jié)合我們的研究課題《數(shù)學課中小學生提問題能力的策略研究》，讓學生在問題情境中學習數(shù)學知識。一個人的十個手指還不一樣長呢，更何況來自不同家庭的幾十個學生，他們之間必定會存在各種各樣的差異。比如課堂提出的問題要有不同層次，好、中、差學生都要考慮到，好學生回答難度較大的問題，中下等生回答較容易的問題，每次回答都會得到老師的肯定與表揚，這樣學生學習的積極性才會保持，學習才會不斷取得進步。四、拓展學習空間，讓學生感到學習就是生活教材是知識與思維的載體，它蘊含著大量可供培養(yǎng)學生思維能力和創(chuàng)新意識的素材，因此，作為教師必須好好把握并靈活運用它，這樣才能使“減負”落到實處，才能使數(shù)學教學變成培養(yǎng)創(chuàng)新的天地?！蔽沂且幻麛?shù)學教師，深知數(shù)學是小學階段的一門重要課程。怎樣才能實現(xiàn)三個目標呢？首先，要讓學生認識到學習數(shù)學的必要性和重要性。其次，讓學生感受到學習的成功。因此，我們教師應創(chuàng)造各種機會讓學生感受到學習的喜悅，體驗到成功的快樂。再次，教師必須有新的學生觀?，F(xiàn)在我們的教學應面向全體學生，要重視學生的學習過程，只要是學生認真、努力的學習了，并且在原來的基礎(chǔ)上有了進步了，可能成績還不夠優(yōu)秀，我們都要認定該學生是個好學生。在講述教學方式的綜合化拓展時，作者談到的“教活教材，用教材來教”的觀點我非常贊同。就教材而言，其知識、技能的覆蓋面是有限的，但是，如果用創(chuàng)新的觀念和手段來對待教材，教材的外延可以說相當廣泛。只有創(chuàng)造性地使用教材，把教材的每個章節(jié)當作一個系統(tǒng)，每到立體看作一個課題，每一個定理、原理看作是蘊含哲理的智慧結(jié)晶，才能使“減負”落到實處，才能使數(shù)學教學變成培養(yǎng)創(chuàng)新的天地。這不正是葉圣陶先生所說的“教才只能作為新課的依據(jù)，要做得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”嗎？三、談“重視興趣、重視應用、重視過程是數(shù)學教學走出困境的法寶”十余年的教師工作，我感覺很多學生都覺得數(shù)學課枯燥乏味，不如語文課生動、有趣。素質(zhì)教育不需要高分低能的書呆子，素質(zhì)教育就是要將學生被動學習變成主動學習、快樂學習、創(chuàng)造性的學習。重視興趣、重視應用、重視過程是數(shù)學教學走出困境的法寶。比如，低年級的數(shù)學課，要多給學生創(chuàng)設(shè)游戲的情景，游戲活動符合低年級孩子好奇、好動的心理特點。重視應用，就要積極引導學生尋找生活中的原型，并嘗試將所學知識運用于實際，對其他學科中出現(xiàn)的數(shù)學問題進行研究，尋求解決的策略