【正文】 、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：112+179。n當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn n49x2x163。m163。y=2x+m22238。由 237。m163。于是令 y=49x2(y179。49x22x163。即222ab+bc=ac故當且僅當111=+時取等號。+bcsin60176。 如圖（1）則∠AOC＝120176。且僅當a2+ac+c2當111=+時取等號。22+2222此題也可構(gòu)造向量來證明。即二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式22例x+y+2221 6x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。b＝222所以(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6179。2+(2x+y6（）|b|=(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6（1－y)b ,為使 a例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|(7)2+(2)2x2+(9x2)=9當且僅當b=λa(λ0)時等號成立，故由時，等號成立。b ≤|a|9，并指出等號成立的條件。下面通過舉例加以說明。（本文于2004年在《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第10期上發(fā)表）第二篇：例談運用構(gòu)造法證明不等式例談運用構(gòu)造法證明不等式湖北省天門中學(xué)薛德斌在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。（2）運用構(gòu)造法解題，必須對基礎(chǔ)知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。… = …若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù) 而 f(1)=－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0 ∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1 此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構(gòu)造對偶式證明不等式例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設(shè)an =(1+1)(1+構(gòu)造對偶式：bn =11)…(1+) 43n233n+1112583n43n1)…(1+)= 1a21b21ab簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a1，1q則：112424+=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b2 1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。22n1=n2nn1212n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+122 n－1112=[(1+2n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥33333五、構(gòu)造方程證明不等式例6：設(shè) aa…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n 不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + …+ an2)均成立簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：(a12 + a22 + … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0 當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。即163。9x+y=4令△= 4（52－9m2）=0 得：m=圖（2）213213或m=－（舍）33即m的最大值為421342132132，故163。y=2x+m2 2 由 237。332，0）3距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（時，m有最小值為m=4；當直線y =2x＋m與橢圓上3半部分相切時，m有最大值。0)，則其圖象是橢圓圖（1）x2y2+=14的上半部分，設(shè)y2x=m，于是只需證494213, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截163。33簡析與證明：49x2的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。bac四、構(gòu)造橢圓證明不等式 例5：求證：4213 163。=acsin120176。AB=a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。bac簡析與證明：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形： 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。22簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。1（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。b＝222所以(1y)+(x+y3)+(2x+y6)2+(2x+y6（）6（1－y)b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(1 , 2，1)222于是|a||b|≥ax7+9x22l0得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。(7)2+(2)2b ≤|a|9，并指出等號成立的條件。下面通過舉例加以說明。第一篇：例談運用構(gòu)造法證明不等式 新課程數(shù)學(xué) 新課程數(shù)學(xué)新課程例談運用構(gòu)造法證明不等式在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學(xué)過的知識的基礎(chǔ)上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。一、構(gòu)造向量證明不等式 例1：證明7x+2(9x2)163。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x, 又a|b|，所以9x2)的數(shù)量積，7x+2(9x2)163。x2+(9x2)=9當且僅當b=λa(λ0)時等號成立，故由立。例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|b ,為使 a|b|=(1y)+(x+y3)+(2x+y6)1＋(x+y3)1）－1 a6179。即二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式22例求證：x+y+2221 6x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。22+2222此題也可構(gòu)造向量來證明。a2+ac+c2當且僅當111=+時取等號。 如圖（1）則∠AOC＝120176。+bcsin60176。即ab+bc=ac 222故當且僅當111=+時取等號。49x22x163。于是令 y=49x2(y179。m163。236。2 得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 2238。m163。49x2x163。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式 例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn nn22例8：設(shè)任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：n12112+179。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1… 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 311) 33n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（3）不時機地運用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新能力。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學(xué)過的知識的基礎(chǔ)上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。一、構(gòu)造向量證明不等式例1：證明7x+2(9x2)163。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a|b|，所以7x+9x2)的數(shù)量積，2(9x2)163。x7+9x22x=,λ=1，即 x =7l0得：（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。|b|≥ab為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(1 , 2，1)222于是|a|1＋(x+y3)1）－1 a1（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。22簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。bac簡析與證明：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。AB=a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。=acsin120176。bac圖（1）四、構(gòu)造橢圓證明不等式例5：求證：42 163。33簡析與證明：49x2的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。0)，則其圖象是橢x2y2+=1圓4的上半部分，設(shè)y2x=m，于是只需49證42163。, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。24，0）時，m有最小值為m=；當33236。9x+y=4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0令△= 4（52－9m2）=0 得：m=22或m=－（33即m的最大值為424222，故163。即163。 33333五、構(gòu)造方程證明不等式例6：設(shè) aa…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。n n1212n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左12邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥22n1=n 221ab1a1b簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a