構(gòu)造法證明不等式例析-在線瀏覽
2024-08-04 16:44本頁(yè)面
【正文】 … + a= a+ … + a+ t (a+ a+ … + a－A) = (a+) + (a+)+ … + (a+)+ t a－t A－t≥t a－t A－t． ①又t a－t A－t=－[t－( a－A)]+( a－A)≤( a－A)．而－a與t無(wú)關(guān)，即①式對(duì)t∈R恒成立，所以－a≥( a－A)．整理得：na－2aA≤0，解得0≤a≤．同理可求得0≤a≤． ( k =1，2，…，n) 七、構(gòu)造向量法證明不等式根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等式關(guān)系||，就能避免復(fù)雜的湊配技巧，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化．應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不等式，思路清晰，易于掌握．例7 設(shè)a、b∈R，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．證明：構(gòu)造向量= (a＋2，b＋2)，= (1，1)．設(shè)和的夾角為，其中0≤≤．∵|| =，|| =，∴||cos=cos；另一方面，1＋(b＋2)≥5，從而(a＋2)＋(b＋2)≥． 八、構(gòu)造平面幾何模型證明不等式構(gòu)造平面幾何模型證明三角不等式，形象直觀，有利于溝通三角、平面幾何、代數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系。DE1作∠COB的角平分線OD，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得=，∴＜1，即|BD|＜|DC|，∵|BE|＞|BD|，∴|AE|＞|AD|．∵AE =[|AB|＋|A
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