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構(gòu)造法證明不等式例析-在線瀏覽

2024-08-04 16:44本頁(yè)面
  

【正文】 … + a= a+ … + a+ t (a+ a+ … + a-A) = (a+) + (a+)+ … + (a+)+ t a-t A-t≥t a-t A-t. ①又t a-t A-t=-[t-( a-A)]+( a-A)≤( a-A).而-a與t無(wú)關(guān),即①式對(duì)t∈R恒成立,所以-a≥( a-A).整理得:na-2aA≤0,解得0≤a≤.同理可求得0≤a≤. ( k =1,2,…,n) 七、構(gòu)造向量法證明不等式根據(jù)已知條件與欲證不等式結(jié)構(gòu),將其轉(zhuǎn)化為向量形式,利用向量數(shù)量積及不等式關(guān)系||,就能避免復(fù)雜的湊配技巧,使解題過(guò)程簡(jiǎn)化.應(yīng)用這一方法證明一些具有和積結(jié)構(gòu)的代數(shù)不等式,思路清晰,易于掌握.例7 設(shè)a、b∈R,且a+b =1,求證:(a+2)+(b+2)≥.證明:構(gòu)造向量= (a+2,b+2),= (1,1).設(shè)和的夾角為,其中0≤≤.∵|| =,|| =,∴||cos=cos;另一方面,1+(b+2)≥5,從而(a+2)+(b+2)≥. 八、構(gòu)造平面幾何模型證明不等式構(gòu)造平面幾何模型證明三角不等式,形象直觀,有利于溝通三角、平面幾何、代數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系。DE1作∠COB的角平分線OD,由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì),得=,∴<1,即|BD|<|DC|,∵|BE|>|BD|,∴|AE|>|AD|.∵AE =[|AB|+|A
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