【正文】 n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥n22n1=n22n12例8：設任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：112+179。 221ab1a1b簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與題設聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a1112424+，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b1q1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù)而 f(1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構(gòu)造對偶式證明不等式例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設an =(1+1)(1+構(gòu)造對偶式：bn = 11)…(1+) 43n23n+1 112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1…， = … 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+ 3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 11) n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（2）運用構(gòu)造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時機地運用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新能力。（本文于2004年在《高中數(shù)學教與學》第10期上發(fā)表）第三篇：高二數(shù)學構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運用構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運用作者：酒鋼三中 樊等林不等式的證明歷來是高中數(shù)學的難點，也是考察學生數(shù)學能力的主要方面。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。本文通過一些具體的例子來探討一下怎樣借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式。一、構(gòu)造函數(shù)利用判別式證明不等式 ①構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0成立，并指出等號何時成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。：a,b,c206。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。234。0,235。3236。a+b+c=222解析：237。2 消去c得： a+(b2)a+b2b+1=0，此方程恒成立，22238。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。0，即：0163。b163。233。4249。同理可求得a,c206。234。0,235。34。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36632abc二、構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式﹤1，b﹤1，c﹤1，求證：ab+bc+ac﹥：令f(x)=(b+c)x+bc+1為一次函數(shù)。由于f(1)=(1+b)(1+c)﹥0，且f(x)=(1b)(1c)﹥0，∴f(x)在x206。(1,1)時恒有f(x)﹥∵a206。(1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab+bc+ac+1﹥0 評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f(a)1。三、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式aba+b+,b206。R+，求證：﹥ 1+a1+b1+a+b解析：設f(x)=又x1=1，當x﹥0時，f(x)是增函數(shù)，1+x1+xaba+b+aba+b+2aba+b+ab+=f(a+b+ab)，＝﹥＝1+a1+b(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)1+a+b+ab而a,b206。R+，∴a+b+ab﹥a+b，∴f(a+b+ab)﹥f(a+b)故有： aba+b+﹥ 1+a1+b1+a+：當x﹥0時，x ﹥ln(1+x)。解析：令f(x)=xln(x+1)，∵x﹥0，∴f/(x)=11x= ﹥+1x+1又∵f(x)在x=0處連續(xù)，∴f(x)在[0,+165。)上是增函數(shù)，從而，當x﹥0時，f(x)=xln(1+x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1+x)成立。評注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導數(shù)后，單調(diào)性的應用將更加普遍。四、構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式xx(x185。0)。：﹤x212xxxxx2xx++＝解析：設f(x)=(x185。0)，f(x)=＝xxx221212212xxxxx1(12)+x+＝＝f(x).212x212x[]所以f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱。當x﹥0時，12x﹤0，故f(x)﹤0；當x﹤0時，依圖象關于y軸對稱知f(x)﹤0。xx(x185。0)﹤212x評注：這里實質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關健。由上述幾種情況可以看出，能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學思想來證明不等式，最重要的是要有扎實的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨辟蹊徑，使問題獲得妙解。故當x185。0時，恒有f(x)﹤0，即第四篇：數(shù)學新課程教學心得數(shù)學新課程教學心得數(shù)學新課程教學心得1隨著新課程標準的實施，新教材的使用，讓我們感受到數(shù)學教學改革正邁著堅實的步伐前進著。新教材體現(xiàn)了以人的發(fā)展為本的教學理念；向?qū)W生提供了現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學習素材；為學生提供了探究、交流的操作平臺；展現(xiàn)了知識的形成與應用過程；能夠最大限度地滿足不同學生發(fā)展的需求。新教材是順應時代發(fā)展的產(chǎn)物。然而，我們作為教師是否能夠充分利用好教材，改變過去教學中存在的一些問題。比如：課堂以教師為主，對學生要求太多，課堂氣氛沉悶，學生被動接受，在學習上依賴性強，厭學情緒明顯，學習效率低下等等。下面談談本人在數(shù)學課堂教學中讓學生主動參與學習的幾點做法。一、尊重學生，還學生學習的自由，提高學生的學習興趣。（1）要使學生主動參與學習，必須使學生對學習有興趣。興趣是一個人前進的動力，是永不枯竭的動源泉。正是因為這樣，很多教育家都很重視對學生學習興趣的培養(yǎng)。兩千多年前，孔子就提出過，“知之者不如好之者”。兩千多年后，人民教育家陶行知先生又從自己豐富的教學實際經(jīng)驗出發(fā)，認為“學生有了興味就肯用全副精神去做事，學與樂不可分”。赫爾巴特學派甚至將興趣視為教育過程必須借助的“保險絲”。他們都認為“好學”對教育非常重要?？梢?，將興趣作為學生學習過程發(fā)生的運行機制，是有識之士的共識。（2）要使學生有興趣，必須留給學生學習的自由。自由活動是人發(fā)展的內(nèi)在依據(jù)，學生的學習也應如此。學生并不只受教于老師，而且自己也獨立學習。學生應當是主動的學習者。許多教育事實也反映出，真正的學習并不是由教師傳授給學生，而是出自學生本身，我們應該讓學生自發(fā)地主動地學習，留給學生充分的自由，讓學生自己找到并發(fā)現(xiàn)、糾正自己的***。如果我們把每種事情都教給學生或者規(guī)定他們按固定的程序完成，就會妨礙他們的主動參與和自主發(fā)現(xiàn)，妨礙他們的發(fā)展。比如，《打折銷售》這一節(jié)，如果課堂上就單純地出示例題，然后分析題意，給出解答過程，接著再模仿練習。最后幫學生總結(jié)出解決這類問題的方法和技巧。那么這類問題雖然與實際生活相關，但學生卻未必有多大興趣。假若我們設計一個課堂活動，讓學生模擬商店的從進貨、定價、促銷到賣出的全過程，學生一定會非常積極踴躍，樂于去對打折銷售的過程進行分析、計算。而且在此過程中，學生也自然會聯(lián)想到各個環(huán)節(jié)中可能出現(xiàn)的問題，比如標價與銷量的關系，進價、標價、售價與打折和利潤之間的關系，這樣需要學生鞏固、提高的知識可能自然就解決了。（3）要留給學生學習的自由，必須充分尊重學生。教師往往只根據(jù)教材內(nèi)容設計教學過程，最容易忽視學生學習與發(fā)展的實際情況。教師憑想象充分準備一堂課，并依此設計如何去講授，雖然可以完成教學任務，但其結(jié)果往往也只是學生被動地接受。如果我們考慮到學生的學習潛能和學生的最近發(fā)展區(qū)，課堂上交給學生恰當?shù)闹鲃訖?，情況就大不一樣了。比如線段的比較，我們在黑板上畫出兩條線段，然后按教材介紹用圓規(guī)怎樣比較，用刻度尺怎樣比較，這時學生也許就會提出：用得著這么麻煩嗎？不是一看就知道長短了嗎？的確，在生活中，觀察法也許是用的最多的，我們應當尊重學生的切合實際的觀點，甚至就可以完全把主動權交給學生，讓學生討論如何比較兩條線段的長短，這時學生一定會提出很多不同于教材而又很實用的方法，學生的方法都應該得到老師的充分肯定。二、發(fā)揮學生的主體作用，引導學生積極主動參與教學過程由于數(shù)學教學的本質(zhì)是數(shù)學思維活動的展開，因此數(shù)學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數(shù)學思維活動。我們不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發(fā)揮和發(fā)展，只有這樣，才能不斷提高數(shù)學活動的開放度。這就要求我們在教學過程中為學生創(chuàng)造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點：（1）巧創(chuàng)激趣情境，激發(fā)學生的學習興趣。教學實踐證明，情心創(chuàng)設各種教學情境，能夠激發(fā)學生的學習動機和好奇心，培養(yǎng)學生的求知欲，調(diào)動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。（2）運用探究式教學，使學生主動參與。教學中，在以教師為主導的前提下，堅持學生是探究的主體，根據(jù)教材提供的學習材料，伴隨知識的發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程進行探究活動，教師著力引導學生多思考、多探索，讓學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，只有這樣，才能使學生品嘗到自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。只有達到這樣的境地，才會真正實現(xiàn)學生的主動參與。（3）運用變式教學，確保其參與教學活動的持續(xù)熱情。變式教學是對數(shù)學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識點間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，促使其產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。三、強化交流和合作，倡導開放的教學活動方式相對而言，傳統(tǒng)課堂教學較為重視師生之間的聯(lián)系、溝通，而忽略學生之間的相互聯(lián)系，忽視發(fā)揮學生群體在教學中的作用?，F(xiàn)代教學論認為，數(shù)學教學過程應是學生主動學習的過程，它不僅是一個認識過程，而且也是一個交流合作的過程，為學生主動學習提供了開放的活動方式，提供了寬松和民主的環(huán)境，更有利于發(fā)展學生的主體性，促進學生智力、情感和社會技能的發(fā)展及創(chuàng)造能力的發(fā)展。為此，我們以強化小組交流與合作學習為核心，徹底改變課堂教學中“教師主講，學生主聽”的單一的教學組織形式，促進各個層次學生的共同發(fā)展。具體應做好以下幾點：（1）改革課堂教學的空間形式。在教學的進行過程中，可以把學生分成幾個小組進行合作與交流，這種小組的形式縮短了學生與學生之間的距離，增強了學生間交往的機會，有利干小組內(nèi)成員的交流和含作。（2）小組學習任務的布置。小組內(nèi)的交流與合作學習主要以協(xié)同活動為中介實現(xiàn)的，因此我們在組織小組交流與合作學習活動中，應把需要討論、互相啟發(fā)、反復推敲的問題布置給學習小組，讓小組圍繞問題進行交流和合作學習。