【正文】 n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥n22n1=n22n12例8：設任意實數a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：112+179。 221ab1a1b簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯(lián)想到無窮等比數列（| q | 1）各項和公式S＝a1112424+，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b1q1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構造函數證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數而 f(1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設構造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構造對偶式證明不等式例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設an =(1+1)(1+構造對偶式：bn = 11)…(1+) 43n23n+1 112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1…， = … 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+ 3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 11) n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數值域或最值的重要思想方法。（2）運用構造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時機地運用構造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新能力。（本文于2004年在《高中數學教與學》第10期上發(fā)表）第三篇：高二數學構造函數法在不等式證明中運用構造函數法在不等式證明中運用作者：酒鋼三中 樊等林不等式的證明歷來是高中數學的難點，也是考察學生數學能力的主要方面。不等式的證明方法多種多樣，根據所給不等式的特征，巧妙的構造適當的函數，然后利用一元二次函數的判別式、函數的奇偶性、單調性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數法。本文通過一些具體的例子來探討一下怎樣借助構造函數的方法證明不等式。一、構造函數利用判別式證明不等式 ①構造函數正用判別式證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數有關或能通過等價轉化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0成立，并指出等號何時成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。：a,b,c206。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。234。0,235。3236。a+b+c=222解析：237。2 消去c得： a+(b2)a+b2b+1=0，此方程恒成立，22238。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。0，即：0163。b163。233。4249。同理可求得a,c206。234。0,235。34。3② 構造函數逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構造函數：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構造函數f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36632abc二、構造函數利用函數有界性證明不等式﹤1，b﹤1，c﹤1，求證：ab+bc+ac﹥：令f(x)=(b+c)x+bc+1為一次函數。由于f(1)=(1+b)(1+c)﹥0，且f(x)=(1b)(1c)﹥0，∴f(x)在x206。(1,1)時恒有f(x)﹥∵a206。(1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab+bc+ac+1﹥0 評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數，轉化為f(a)1。三、構造函數利用單調性證明不等式aba+b+,b206。R+，求證：﹥ 1+a1+b1+a+b解析：設f(x)=又x1=1，當x﹥0時，f(x)是增函數，1+x1+xaba+b+aba+b+2aba+b+ab+=f(a+b+ab)，＝﹥＝1+a1+b(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)1+a+b+ab而a,b206。R+，∴a+b+ab﹥a+b，∴f(a+b+ab)﹥f(a+b)故有： aba+b+﹥ 1+a1+b1+a+：當x﹥0時，x ﹥ln(1+x)。解析：令f(x)=xln(x+1)，∵x﹥0，∴f/(x)=11x= ﹥+1x+1又∵f(x)在x=0處連續(xù)，∴f(x)在[0,+165。)上是增函數，從而，當x﹥0時，f(x)=xln(1+x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1+x)成立。評注：利用函數單調性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導數后，單調性的應用將更加普遍。四、構造函數利用奇偶性證明不等式xx(x185。0)。：﹤x212xxxxx2xx++＝解析：設f(x)=(x185。0)，f(x)=＝xxx221212212xxxxx1(12)+x+＝＝f(x).212x212x[]所以f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱。當x﹥0時，12x﹤0，故f(x)﹤0；當x﹤0時，依圖象關于y軸對稱知f(x)﹤0。xx(x185。0)﹤212x評注：這里實質上是根據函數奇偶性來證明的，如何構造恰當的函數充分利用其性質是關健。由上述幾種情況可以看出，能否順利地構造函數利用其函數性質和使用數學思想來證明不等式，最重要的是要有扎實的基本功和多種思維品質，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨辟蹊徑，使問題獲得妙解。故當x185。0時，恒有f(x)﹤0，即第四篇：數學新課程教學心得數學新課程教學心得數學新課程教學心得1隨著新課程標準的實施，新教材的使用，讓我們感受到數學教學改革正邁著堅實的步伐前進著。新教材體現了以人的發(fā)展為本的教學理念；向學生提供了現實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學習素材；為學生提供了探究、交流的操作平臺；展現了知識的形成與應用過程；能夠最大限度地滿足不同學生發(fā)展的需求。新教材是順應時代發(fā)展的產物。然而，我們作為教師是否能夠充分利用好教材，改變過去教學中存在的一些問題。比如：課堂以教師為主，對學生要求太多，課堂氣氛沉悶，學生被動接受，在學習上依賴性強，厭學情緒明顯，學習效率低下等等。下面談談本人在數學課堂教學中讓學生主動參與學習的幾點做法。一、尊重學生，還學生學習的自由，提高學生的學習興趣。（1）要使學生主動參與學習，必須使學生對學習有興趣。興趣是一個人前進的動力，是永不枯竭的動源泉。正是因為這樣，很多教育家都很重視對學生學習興趣的培養(yǎng)。兩千多年前，孔子就提出過，“知之者不如好之者”。兩千多年后，人民教育家陶行知先生又從自己豐富的教學實際經驗出發(fā)，認為“學生有了興味就肯用全副精神去做事，學與樂不可分”。赫爾巴特學派甚至將興趣視為教育過程必須借助的“保險絲”。他們都認為“好學”對教育非常重要。可見，將興趣作為學生學習過程發(fā)生的運行機制，是有識之士的共識。（2）要使學生有興趣，必須留給學生學習的自由。自由活動是人發(fā)展的內在依據，學生的學習也應如此。學生并不只受教于老師，而且自己也獨立學習。學生應當是主動的學習者。許多教育事實也反映出，真正的學習并不是由教師傳授給學生，而是出自學生本身，我們應該讓學生自發(fā)地主動地學習，留給學生充分的自由，讓學生自己找到并發(fā)現、糾正自己的***。如果我們把每種事情都教給學生或者規(guī)定他們按固定的程序完成，就會妨礙他們的主動參與和自主發(fā)現，妨礙他們的發(fā)展。比如，《打折銷售》這一節(jié)，如果課堂上就單純地出示例題，然后分析題意，給出解答過程，接著再模仿練習。最后幫學生總結出解決這類問題的方法和技巧。那么這類問題雖然與實際生活相關，但學生卻未必有多大興趣。假若我們設計一個課堂活動，讓學生模擬商店的從進貨、定價、促銷到賣出的全過程，學生一定會非常積極踴躍，樂于去對打折銷售的過程進行分析、計算。而且在此過程中，學生也自然會聯(lián)想到各個環(huán)節(jié)中可能出現的問題，比如標價與銷量的關系，進價、標價、售價與打折和利潤之間的關系，這樣需要學生鞏固、提高的知識可能自然就解決了。（3）要留給學生學習的自由，必須充分尊重學生。教師往往只根據教材內容設計教學過程，最容易忽視學生學習與發(fā)展的實際情況。教師憑想象充分準備一堂課，并依此設計如何去講授，雖然可以完成教學任務，但其結果往往也只是學生被動地接受。如果我們考慮到學生的學習潛能和學生的最近發(fā)展區(qū)，課堂上交給學生恰當的主動權，情況就大不一樣了。比如線段的比較，我們在黑板上畫出兩條線段，然后按教材介紹用圓規(guī)怎樣比較，用刻度尺怎樣比較，這時學生也許就會提出：用得著這么麻煩嗎？不是一看就知道長短了嗎？的確，在生活中，觀察法也許是用的最多的，我們應當尊重學生的切合實際的觀點，甚至就可以完全把主動權交給學生，讓學生討論如何比較兩條線段的長短，這時學生一定會提出很多不同于教材而又很實用的方法，學生的方法都應該得到老師的充分肯定。二、發(fā)揮學生的主體作用，引導學生積極主動參與教學過程由于數學教學的本質是數學思維活動的展開，因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。我們不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發(fā)揮和發(fā)展，只有這樣，才能不斷提高數學活動的開放度。這就要求我們在教學過程中為學生創(chuàng)造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點：（1）巧創(chuàng)激趣情境，激發(fā)學生的學習興趣。教學實踐證明，情心創(chuàng)設各種教學情境，能夠激發(fā)學生的學習動機和好奇心，培養(yǎng)學生的求知欲，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。（2）運用探究式教學，使學生主動參與。教學中，在以教師為主導的前提下，堅持學生是探究的主體，根據教材提供的學習材料，伴隨知識的發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程進行探究活動，教師著力引導學生多思考、多探索，讓學生學會發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題，只有這樣，才能使學生品嘗到自己發(fā)現的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。只有達到這樣的境地，才會真正實現學生的主動參與。（3）運用變式教學，確保其參與教學活動的持續(xù)熱情。變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯(lián)系的一種教學設計方法。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，促使其產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。三、強化交流和合作，倡導開放的教學活動方式相對而言，傳統(tǒng)課堂教學較為重視師生之間的聯(lián)系、溝通，而忽略學生之間的相互聯(lián)系，忽視發(fā)揮學生群體在教學中的作用?，F代教學論認為，數學教學過程應是學生主動學習的過程，它不僅是一個認識過程，而且也是一個交流合作的過程，為學生主動學習提供了開放的活動方式，提供了寬松和民主的環(huán)境，更有利于發(fā)展學生的主體性，促進學生智力、情感和社會技能的發(fā)展及創(chuàng)造能力的發(fā)展。為此，我們以強化小組交流與合作學習為核心，徹底改變課堂教學中“教師主講，學生主聽”的單一的教學組織形式，促進各個層次學生的共同發(fā)展。具體應做好以下幾點：（1）改革課堂教學的空間形式。在教學的進行過程中，可以把學生分成幾個小組進行合作與交流，這種小組的形式縮短了學生與學生之間的距離，增強了學生間交往的機會，有利干小組內成員的交流和含作。（2）小組學習任務的布置。小組內的交流與合作學習主要以協(xié)同活動為中介實現的，因此我們在組織小組交流與合作學習活動中，應把需要討論、互相啟發(fā)、反復推敲的問題布置給學習小組，讓小組圍繞問題進行交流和合作學習。