【正文】 an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0當(dāng)aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。9x+y=4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0令△= 4（52－9m2）=0 得：m=22或m=－（33即m的最大值為424222，故163。, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當(dāng)直線 y = 2 x＋m 過點（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。33簡析與證明：49x2的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。=acsin120176。bac簡析與證明：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。22簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。1）－1 ab為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(1 , 2，1)222于是|a|x7+9x22x=,λ=1，即 x =7l0得：（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學(xué)過的知識的基礎(chǔ)上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。 2583n43n13693n33nQ1+11111+1+，1+3n23n13n23n即an bn，an 3∴an an bn ∴an 311) 33n+1 3n+1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法?！?2例8：設(shè)任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：n12112+179。當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式 例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn nm163。236。于是令 y=49x2(y179。即ab+bc=ac 222故當(dāng)且僅當(dāng)111=+時取等號。 如圖（1）則∠AOC＝120176。22+2222此題也可構(gòu)造向量來證明。6179。1＋(x+y3)b ,為使 ax2+(9x2)=9當(dāng)且僅當(dāng)b=λa(λ0)時等號成立，故由立。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x, 又a這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學(xué)過的知識的基礎(chǔ)上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。b ≤|a|x7+9x22l0得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(1 , 2，1)222于是|a|2+(2x+y6（）1（1－y)+(x+y3)+(2x+y6)179。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。AB=a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2 當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。bac四、構(gòu)造橢圓證明不等式 例5：求證：4213 163。0)，則其圖象是橢圓圖（1）x2y2+=14的上半部分，設(shè)y2x=m，于是只需證494213, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截163。y=2x+m2 2 由 237。即163。2nn1212n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+122 n－1112=[(1+2n1)+(2+2n2)+ …(2n1+1)≥1a21b21ab簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a1，1q則：112424+=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b2 1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當(dāng)－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)?！?= （2）運用構(gòu)造法解題，必須對基礎(chǔ)知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。下面通過舉例加以說明。b ≤|a|例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a||b|=(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6（1－y)b＝222所以(1y)+(x+y3)+(2x+y6)6179。22+2222此題也可構(gòu)造向量來證明。 如圖（1）則∠AOC＝120176。即222ab+bc=ac故當(dāng)且僅當(dāng)111=+時取等號。于是令 y=49x2(y179。由 237。m163。當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn n22n12例8：設(shè)任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1 求證：112+179?！?= （本文于2004年在《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第10期上發(fā)表）第三篇：高二數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運用構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運用作者：酒鋼三中 樊等林不等式的證明歷來是高中數(shù)學(xué)的難點，也是考察學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要方面。一般對與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。3a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。4249。235。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。(1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab+bc+ac+1﹥0 評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f(a)1。解析：令f(x)=xln(x+1)，∵x﹥0，∴f/(x)=11x= ﹥+1x+1又∵f(x)在x=0處連續(xù)，∴f(x)在[0,+165。0)。xx(x185。0時，恒有f(x)﹤0，即第四篇：數(shù)學(xué)新課程教學(xué)心得數(shù)學(xué)新課程教學(xué)心得數(shù)學(xué)新課程教學(xué)心得1隨著新課程標準的實施，新教材的使用，讓我們感受到數(shù)學(xué)教學(xué)改革正邁著堅實的步伐前進著。比如：課堂以教師為主，對學(xué)生要求太多，課堂氣氛沉悶，學(xué)生被動接受，在學(xué)習(xí)上依賴性強，厭學(xué)情緒明顯，學(xué)習(xí)效率低下等等。興趣是一個人前進的動力，是永不枯竭的動源泉。赫爾巴特學(xué)派甚至將興趣視為教育過程必須借助的“保險絲”。自由活動是人發(fā)展的內(nèi)在依據(jù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)也應(yīng)如此。如果我們把每種事情都教給學(xué)生或者規(guī)定他們按固定的程序完成，就會妨礙他們的主動參與和自主發(fā)現(xiàn)，妨礙他們的發(fā)展。假若我們設(shè)計一個課堂活動，讓學(xué)生模擬商店的從進貨、定價、促銷到賣出的全過程，學(xué)生一定會非常積極踴躍，樂于去對打折銷售的過程進行分析、計算。教師憑想象充分準備一堂課，并依此設(shè)計如何去講授，雖然可以完成教學(xué)任務(wù)，但其結(jié)果往往也只是學(xué)生被動地接受。我們不僅要鼓勵學(xué)生參與，而且要引導(dǎo)學(xué)生主動參與，才能使學(xué)生主體性得到充分的發(fā)揮和發(fā)展，只有這樣，才能不斷提高數(shù)學(xué)活動的開放度。教學(xué)中，在以教師為主導(dǎo)的前提下，堅持學(xué)生是探究的主體，根據(jù)教材提供的學(xué)習(xí)材料，伴隨知識的發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程進行探究活動，教師著力引導(dǎo)學(xué)生多思考、多探索，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，只有這樣，才能使學(xué)生品嘗到自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。通過變式教學(xué)，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，促使其產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學(xué)過程的興趣和熱情。具體應(yīng)做好以下幾點：（1）改革課堂教學(xué)的空間形式。我們不僅要指導(dǎo)組內(nèi)交流，而且要引導(dǎo)組際交流；不僅要交流學(xué)習(xí)結(jié)果，更要重視交流學(xué)習(xí)方法。在具體實施過程中，教師要及時地有針對性地予以指導(dǎo)，訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成良好的合作學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)為學(xué)生提供了更多的交流與合作的機會，為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件；數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程是學(xué)生主動構(gòu)建，積極參與的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識；數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程也是學(xué)生探索和創(chuàng)造的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索開拓精神和創(chuàng)造能力。這樣一個開放性的問題，沒有限制學(xué)生的思維，這就給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個自由的時空，學(xué)生在這個時空中可以按自己的方式展示想法、暢所欲言，體現(xiàn)了教師與學(xué)生之間不是領(lǐng)導(dǎo)者和被領(lǐng)導(dǎo)者的關(guān)系，而是平等互動的關(guān)系。以上是在新教材教學(xué)中對如何讓學(xué)生積極參與到教學(xué)中來的幾點心得與體會。在新課程標準的指導(dǎo)下，經(jīng)過一個學(xué)期的數(shù)學(xué)新課程教學(xué)，本人也深深感知，新課標下數(shù)學(xué)教學(xué)與舊課標在教學(xué)理念、教學(xué)方法、教學(xué)過程、教具使用等方面存在很大差異。因此，在新教材中，非常注重設(shè)置問題的情境化。實際上也就是學(xué)生獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，使學(xué)生的觀察能力、分析解決問題的能力、創(chuàng)新能力都得到了不斷的訓(xùn)練和提高。要通過討論、研究、實驗等多種教學(xué)組織形式，引導(dǎo)學(xué)生積極主動的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生掌握和運用知識的能力，要關(guān)注每個學(xué)生，使每個學(xué)生都得到充分發(fā)展。數(shù)學(xué)源于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)。每個人的性格、閱歷、見識、語言表達、現(xiàn)代技術(shù)應(yīng)用能力不盡相同，若套用同一模式，勢必洋相百出，不成體統(tǒng)。教學(xué)有法，教無定法，在五彩繽紛的花園里，不可眼花繚亂，要學(xué)蜜蜂，采擷百花精華，自釀成蜜，形成自己的教法，形成自己的特色，形成自己的風(fēng)格，教出自己的風(fēng)采。在《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法》一書中，講到了“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視興趣、應(yīng)用和過程”，我認為這正是當(dāng)前每一位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該努力做到的。學(xué)生在喜聞樂見的游戲中，既激發(fā)起濃厚的學(xué)習(xí)興趣，又從中發(fā)現(xiàn)了新的知識。比如：在學(xué)習(xí)100以內(nèi)加、減法時，我舉了一個生活中的事例：在商場購物，媽媽帶了100元買了18元的糖，37元一箱的牛奶，一共花了多少錢？還剩多少錢？結(jié)合現(xiàn)實生活中的事例，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，沒有數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力是不行的。因此，我們教師應(yīng)創(chuàng)造各種機會讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的喜悅，體驗到成功的快樂。數(shù)學(xué)新課程教學(xué)心得4一、面對“三個目標”的思考在《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法》緒論中有這樣一段話：“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，最終目的是為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，實現(xiàn)三個目標人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。比如：在學(xué)習(xí)100以內(nèi)加、減法時，應(yīng)舉一個生活中的事例商場購物，媽媽帶了100元買了18元的糖，37元一箱的牛奶，一共花了多少錢？還剩多少錢？結(jié)合現(xiàn)實生活中的事例，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，沒有數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力是不行的。比如課堂提出的問題要有不同層次，好、中、差學(xué)生都要考慮到，好學(xué)生回答難度較大的問題，中下等生回答較容易的問題，每次回答都會得到老師的肯定與表揚，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性才會保持，學(xué)習(xí)才會不斷取得進步。二、有感于“拓展學(xué)習(xí)空間，學(xué)習(xí)就是生活”在《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法》一書的第二章，作者闡述了“拓展學(xué)習(xí)空間，學(xué)習(xí)就是生活”這一觀點。圍繞教材，我們可以做數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)信息、先進教學(xué)手段乃至其他學(xué)科方面的知識準備，在課堂上做到信手拈來，旁征博引，是教材由死變活，提高課堂教學(xué)效率。因此，課堂教學(xué)中對數(shù)學(xué)真正感興趣的學(xué)生并不多，學(xué)生之所以還要強打精神，甚至十分努力的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實在是為