期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型-wenkub
2023-03-09 05:08:22 本頁面
【正文】 6） 2 /20 TWTTTS S e e e??? ??其中 ~ ( 0 , )TW N T2023/3/8 21 對數(shù)正態(tài)模型（ 為什么？ ） ? ?2 /20TWTTS S e? ? ????（ 57） ??：表明長期趨勢； ：表明波動(dòng)率。 因?yàn)? 允許 取任何正值 為什么？ 21e xp ( / 2) 1E c W c??????10 tS e S? ????2023/3/8 16 當(dāng) 時(shí) 是否 否！ 0 200 400 600 800 1000 120000 . 511 . 522 . 533 . 544 . 50 1 , 0 , 0 , 1S c t?? ? ? ? ?0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000 . 511 . 522 . 533 . 54 式（ 56）中將時(shí)間分成小的增量 ，并考慮 步運(yùn)行的影響，一段固定的時(shí)間 可以分成許多小時(shí)間段。 令隨機(jī)變量 ~ ( 0 ,1 )定義 110cZtS e e S? ??其中， 為常數(shù) 1kcZtkkS e e S? ???23, kS S S, , ~ ( 0 , 1 ) , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?2023/3/8 8 于是，可得股價(jià)序列 即 設(shè) （ 53） 2023/3/8 9 于是得： 10kiicZktkS e e S? ?? ??（ 54） 與式（ 52）相比有什么特點(diǎn)？ 包含了隨機(jī)項(xiàng)，因此更接近實(shí)際！ 2023/3/8 10 te??rkiicZ??te?? 該模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，包含了隨機(jī)變量；但存在一個(gè)不足之處，即有兩個(gè)不確定項(xiàng)。后來把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做 布朗運(yùn)動(dòng) 。1 第 六 章：期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型 第一節(jié) 連續(xù)時(shí)間股票模型 第二節(jié) 離散模型 第三節(jié) 連續(xù)模型的分析 第四節(jié) BlackScholes模型 第五節(jié) BlackScholes公式的推導(dǎo) 第六節(jié) 看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價(jià) 第七節(jié) 二叉樹模型和連續(xù)時(shí)間模型 第八節(jié) 幾何布朗運(yùn)動(dòng)股價(jià)模型應(yīng)用的注意事項(xiàng) 2023/3/8 2 保羅 ? ?STt?10tS e S? ?? 1 tkke S? ?? ?2023/3/8 4 若 表示 T 時(shí)刻的股價(jià) 則根據(jù)二叉樹模型，在一個(gè)給定時(shí)間間隔 T k t??2023/3/8 5 0ktkS e S? ??? ? 0TkS T S e S???于是 令 T k t這表明 k個(gè)小時(shí)間段的共同影響等同于相應(yīng)大時(shí)間段 的影響。 第一個(gè)漂移項(xiàng)來自 中的 ，其作用類似于債券 第二個(gè)漂移項(xiàng)來自于 當(dāng)然希望期望的所有的漂移來自于一個(gè)方面，即 和貨幣基金市場中的利率 2023/3/8 11 1S21 /210 c Z ctS e e S? ???為能對模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換，并對不確定性進(jìn)行合并。 事實(shí)上，針對同樣的時(shí)間 ，可以分成不同的 個(gè)區(qū)間。 這兩個(gè)參數(shù)如何影響股價(jià)？ 0 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 70 . 80 . 911 . 11 . 21 . 31 . 40 20 40 60 80 100 120 140 16002468100 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 811 . 21 . 41 . 61 . 820 20 40 60 80 100 120 140 16011 . 21 . 41 . 61 . 822 . 22 . 40, 1????, , 11, 1??1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 200 . 511 . 522 . 531 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 201234561 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2012341 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 202468102023/3/8 24 ? ?20 e xp / 2ttS S B t? ? ???? ? ???（ 58） 式中， ),0(~ tNB t由此得到的就是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（ GBM）。 第二步 2023/3/8 30 解方程： ? ????????? 2/222tStU???得 ????????? /2/2tStSU??第三步 2023/3/8 31 一般經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于將應(yīng)用波動(dòng)率所對應(yīng)的時(shí)期。 參數(shù) ?是股票價(jià)格波動(dòng)率。 ? 從 BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（ S）、時(shí)間（ t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（ σ）和無風(fēng)險(xiǎn)利率 r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量 —— 風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界 ? 所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 習(xí)題： 若某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求 V 080100SXr???????2023/3/8 40 一、修正的模型 主要思路：讓模型定價(jià)等于市價(jià) ???? rbeaS ???2023/3/8 41 資產(chǎn)組合： a股價(jià)格為 S0的股票＋現(xiàn)金 b 則投資額為： baS ?? 00 （ 511） 經(jīng)過時(shí)間 后，投資的資金將變?yōu)椋? 2023/3/8 42 bSaee rr ??? ?? ???? 00 aSSaee rr ????? ?? ???? ? ?00 SSea rr ????? ?? ????（ 512） 用無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 貼現(xiàn)得 于是 2023/3/8 43 ? ? 00 ??? SSeE r ??? ? 00 ????? ??re對式（ 512）兩邊求期望，則如果下列條件成立 則 （ 513） ? ??? ??? ? Ee r0 （ 514） 由此，即使 a值變化，上式總是成立。 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格 ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T tTc e E S X????? 2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2023/3/8 57 上式的右邊求值是一個(gè)積分過程，求得： ? N（ x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于 x的概率）。 2023/3/8 59 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 推論 2:若在 [0,T ]上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，對于相同執(zhí)行價(jià)格和相同到期日的美式和歐式看漲期權(quán)存在： 附：期權(quán)的簡單特征 T? ? ? ? ? ?? ?1 rTS q e ?? ?????2023/3
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