【正文】 6） 2 /20 TWTTTS S e e e??? ??其中 ~ ( 0 , )TW N T2023/3/8 21 對數(shù)正態(tài)模型（ 為什么？ ） ? ?2 /20TWTTS S e? ? ????（ 57） ??：表明長期趨勢； ：表明波動率。 因為 允許 取任何正值 為什么？ 21e xp ( / 2) 1E c W c??????10 tS e S? ????2023/3/8 16 當 時 是否 否！ 0 200 400 600 800 1000 120000 . 511 . 522 . 533 . 544 . 50 1 , 0 , 0 , 1S c t?? ? ? ? ?0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000 . 511 . 522 . 533 . 54 式（ 56）中將時間分成小的增量 ，并考慮 步運行的影響，一段固定的時間 可以分成許多小時間段。 令隨機變量 ~ ( 0 ,1 )定義 110cZtS e e S? ??其中， 為常數(shù) 1kcZtkkS e e S? ???23, kS S S, , ~ ( 0 , 1 ) , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?2023/3/8 8 于是，可得股價序列 即 設 （ 53） 2023/3/8 9 于是得： 10kiicZktkS e e S? ?? ??（ 54） 與式（ 52）相比有什么特點？ 包含了隨機項，因此更接近實際！ 2023/3/8 10 te??rkiicZ??te?? 該模型有一個優(yōu)點，包含了隨機變量；但存在一個不足之處，即有兩個不確定項。后來把懸浮微粒的這種運動叫做 布朗運動 。1 第 六 章：期權定價的連續(xù)模型 第一節(jié) 連續(xù)時間股票模型 第二節(jié) 離散模型 第三節(jié) 連續(xù)模型的分析 第四節(jié) BlackScholes模型 第五節(jié) BlackScholes公式的推導 第六節(jié) 看漲期權與看破跌期權平價 第七節(jié) 二叉樹模型和連續(xù)時間模型 第八節(jié) 幾何布朗運動股價模型應用的注意事項 2023/3/8 2 保羅 ? ?STt?10tS e S? ?? 1 tkke S? ?? ?2023/3/8 4 若 表示 T 時刻的股價 則根據(jù)二叉樹模型，在一個給定時間間隔 T k t??2023/3/8 5 0ktkS e S? ??? ? 0TkS T S e S???于是 令 T k t這表明 k個小時間段的共同影響等同于相應大時間段 的影響。 第一個漂移項來自 中的 ，其作用類似于債券 第二個漂移項來自于 當然希望期望的所有的漂移來自于一個方面，即 和貨幣基金市場中的利率 2023/3/8 11 1S21 /210 c Z ctS e e S? ???為能對模型進行標準正態(tài)變換，并對不確定性進行合并。 事實上，針對同樣的時間 ，可以分成不同的 個區(qū)間。 這兩個參數(shù)如何影響股價？ 0 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 70 . 80 . 911 . 11 . 21 . 31 . 40 20 40 60 80 100 120 140 16002468100 20 40 60 80 100 120 140 1600 . 811 . 21 . 41 . 61 . 820 20 40 60 80 100 120 140 16011 . 21 . 41 . 61 . 822 . 22 . 40, 1????, , 11, 1??1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 200 . 511 . 522 . 531 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 201234561 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 2012341 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 202468102023/3/8 24 ? ?20 e xp / 2ttS S B t? ? ???? ? ???（ 58） 式中， ),0(~ tNB t由此得到的就是股價的幾何布朗運動模型（ GBM）。 第二步 2023/3/8 30 解方程： ? ????????? 2/222tStU???得 ????????? /2/2tStSU??第三步 2023/3/8 31 一般經(jīng)驗法則是設定度量波動率的時期等于將應用波動率所對應的時期。 參數(shù) ?是股票價格波動率。 ? 從 BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價（ S）、時間（ t）、證券價格的波動率（ σ）和無風險利率 r，它們全都是客觀變量，獨立于主觀變量 —— 風險收益偏好。 ? 風險中性假設的結果：投資者進入了一個風險中性世界 ? 所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率 ? 所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 習題： 若某日某股票的相關數(shù)據(jù)如下，求 V 080100SXr???????2023/3/8 40 一、修正的模型 主要思路：讓模型定價等于市價 ???? rbeaS ???2023/3/8 41 資產組合： a股價格為 S0的股票＋現(xiàn)金 b 則投資額為： baS ?? 00 （ 511） 經(jīng)過時間 后，投資的資金將變?yōu)椋? 2023/3/8 42 bSaee rr ??? ?? ???? 00 aSSaee rr ????? ?? ???? ? ?00 SSea rr ????? ?? ????（ 512） 用無風險利率 r 貼現(xiàn)得 于是 2023/3/8 43 ? ? 00 ??? SSeE r ??? ? 00 ????? ??re對式（ 512）兩邊求期望，則如果下列條件成立 則 （ 513） ? ??? ??? ? Ee r0 （ 514） 由此，即使 a值變化，上式總是成立。 要求解這個方程，關鍵在于到期的股票價格 ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應用無風險利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T tTc e E S X????? 2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2023/3/8 57 上式的右邊求值是一個積分過程，求得： ? N（ x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于 x的概率）。 2023/3/8 59 其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 推論 2:若在 [0,T ]上，相應的股票無紅利配發(fā)，對于相同執(zhí)行價格和相同到期日的美式和歐式看漲期權存在： 附：期權的簡單特征 T? ? ? ? ? ?? ?1 rTS q e ?? ?????2023/3