【正文】 i = ? qj = 1/ V例例 在在 W城的冰箱市場上，以往的市城的冰箱市場上，以往的市場份額由本市生產(chǎn)的場份額由本市生產(chǎn)的 A牌冰箱占有絕牌冰箱占有絕大部分。在 軸 I上取 BB2，它 們 到 x軸 的距離分 別 的 a11和 a12，表示在 A采取策略 1 即 (x2=0） 時 A方在 B方分別 采取策略 1 和 2下的 贏 得，如 圖 。 B方指 揮 部 轟 炸的概率的期望 值 VG=。 82x1+x2，而 B采用 2時 ， A方 轟 炸機攻 擊 指 揮 部的概率的期望 值為 E（ 2） =x1+。由于 μ+ν≠0，矩 陣 R不存在鞍點， 應(yīng) 當(dāng)求最佳混合策略。若戰(zhàn)斗機阻擊后面的轟炸機 II，它僅受 II的射擊，被擊中的概率為 （ I來不及返回?fù)羲?于雙方均只有兩種策略的 對 策 問題 （即 22對 策），可按幾何方法求解。對 于需要使用混合策略的 對 策 問題 ，也有具有 穩(wěn) 定解的 對 策 問題 的 類 似 結(jié) 果。但如果 這類 決策要反復(fù) 進 行多次， 則 局中人固定采用一種策略 顯 然是不明智的，因 為 一旦 對 手看出你會采用什么策略，他將會 選 用 對 自己最 為有利的策略。例如，如果 B采用策略 1，而 A改 換 策略 1， 則 A可收益 3。例如，考察（ ）中的 贏 得矩 陣 R。噸。噸。又秋季每噸煤元。已知在正常氣溫條取暖用煤的采購量。當(dāng) 對 策問題 有解 時 ，其解可以不唯一。故有 apq≥ μ 且 apq≤ － ν又因 μ +ν= 0 ，所以 μ =－ ν ，從而得出 apq=μ ， apq為贏 得矩陣 的鞍點，（ p, q） 為 G的 穩(wěn) 定解。 給 定一個 對 策 G，如何判斷它是否具有鞍點呢？ 為 了回答 這 一 問題 ，先引入下面的極大極小原理。注意到在贏得矩陣中， 2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對方有使自己損失最大的動機，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果。例如在表 ，無 論 A、 B怎 樣選 取策略，雙方 贏 得 總 和均 為 10，此 時 ，若將各人 贏 得數(shù)減去兩人的平均 贏 得數(shù)，即可將 贏 得表化 為 零和 贏 得表。在 這類對 策中，當(dāng) 純 局 勢 確定后， A之所得恰 為 B之所失，或者 A之所失恰 為 B之所得，即雙方所得之和 總為 零。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。 對 策的 結(jié) 果用矢量表示，稱之 為贏 得函數(shù)。若 A選擇 策略 i而 B選策略 j， 則 （ i, j）就構(gòu)成此 對 策的一個 純 局 勢 。策略集為有限集時稱為有限對策，否則稱為無限對策。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。從這些簡單實例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個基本要素。如，基于歷史數(shù)據(jù)及相關(guān)分析的定量方法、利用專家判斷的定性方法 主要分支一、對策的基本要素（ 1） 局中人 。將嫌疑犯 A、 B被判刑的幾種可能情況列表如下 ：嫌疑犯 B供 認(rèn) 不供 認(rèn)嫌疑犯 A 供 認(rèn)不供 認(rèn)（ 3， 3）（ 0， 7）（ 7， 0）（ ， ）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯 A、 B被判刑的年數(shù)。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。（ 2） 策略集合 。例如下棋中的某步只能看和一個完整策略的組成部分，而不能看成一個完整的策略。 記局中人 i的策略集合為 Si。 顯 然， SA與 SB一共可構(gòu)成 mn個 純 局 勢 ，它 們 構(gòu)成表 。 贏 得函數(shù) F為 定 義 在局 勢 集合 S上的矢 值函數(shù)， 對 于 S中的每一 純 局 勢 S， F（ S）指出了每一局中人在此 對 策 結(jié) 果下 應(yīng)贏 得（或支付）的 值 。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。在零和 對 策中，因 F1(s)= － F2(s)，只需指出其中一人的 贏 得 值 即可，故 贏 得函數(shù)可用 贏 得矩 陣 表示。表 中的 對 策在 轉(zhuǎn) 化 為 零和 對 策后，具有 贏 得矩 陣表 局中人 B1 2 3局中人 A 1 (8, 2) (1, 9) (7, 3)2 (4, 6) (9, 1) (3, 7) 3 (2, 8) (6, 4) (8, 2)4 (6, 4) (4, 6) (6, 4)給定一個兩人對策只需給出局中人 A、 B的策略集合 SA、SB及表示雙方贏得值的贏得矩陣 R。局中人A采取策略 3時，最壞的贏得結(jié)果分別為min { 12, － 6, 30, － 22 } = － 22min { 14, 2, 18, 10} =2min {－ 6, 0, － 10, 16} = － 10其中最好的可能為 max {－ 22,2,－ 10}=2。此時，只要對方不改變策略，任一局中人都不可能通過變換策略來增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢為對策的一個穩(wěn)定點或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點）定義 對于兩人對策 G = { SA, SB, R}，若有，則稱 G具有穩(wěn)定解，并稱 VG為對策 G的值。蘊涵的思想是樸素自然的，可以概括為：蘊涵的思想是樸素自然的，可以概括為： “從從最壞處著想，去爭取最好的結(jié)果最壞處著想，去爭取最好的結(jié)果 ”定理 設(shè) G = { SA, SB, R }， 記 ， 則 必有 μ+ν≤0證明 : ，易見 μ為 A的最小贏得， ν為 B的最小贏得，由于 G是零和對策，故 μ+ν≤0必成立。 （必要性） 若 G具有 穩(wěn) 定解（ p , q ）， 則 apq為贏 得矩 陣 的鞍點。例如，若 則 易 見 ，（ 2, 2），（ 2, 4），（ 4, 2），（ 4, 4）均 為 此 對 策 問題 的解。已知在正常氣溫條件下需要用煤件下需要用煤 15噸，在較暖和較冷氣溫噸，在較暖和較冷氣溫條件下需要用煤條件下需要用煤 10噸和噸和 20噸。又秋季每噸煤價為價為 100元。 局中人局中人 II（環(huán)境）：策略（環(huán)境）：策略 ?1 較暖較暖 ,策略策略?2 正常，策略正常，策略 ?3較冷較冷 現(xiàn)把該單位冬天取暖用煤全部費用現(xiàn)把該單位冬天取暖用煤全部費用（秋季購煤費用與冬天不夠時再補購煤（秋季購煤費用與冬天不夠時再補購煤費用）作為采購員的贏得矩陣。具有 穩(wěn) 定解的零和 對 策 問題 是一 類 特 別簡單 的 對 策 問題 ，它所 對應(yīng) 的贏 得矩 陣 存在鞍點，任一局中人都不可能通 過 自己 單 方面的努力來改 進結(jié) 果。若雙方都采取保守的 max min原 則 。但此 時 若 B改 換 策略 2，又會使 A輸 掉 4， …… 。 這時 ，局中人均 應(yīng) 根據(jù)某種概率來 選 用各種策略，即采用混合策略的 辦 法，使自己的期望收益盡可能大。定 義 若存在 m維 概率向量和 n維 概率向量，使得 對 一切 m維 概率向量 X和 n維 概率向量 y有 則 稱（ , ） 為 混合策略 對 策 問題 的鞍點。例 A、 B為作戰(zhàn)雙方， A方擬派兩架轟炸機 I和 II去轟炸 B方的指揮部，轟炸機 I在前面飛行， II隨后。若戰(zhàn)斗機阻擊 I，它將同時受到兩架轟炸機的射擊，被擊中的概率為 。現(xiàn)設(shè) A以概率 x1取策略 概率 x2取策略 2； B以概率 y1取策略 概率 y2取策略 2。若 E（ 1） ≠E（ 2），不妨設(shè) E（ 1） E（ 2）， 則 B方必采用 1以減少指 揮 部被 轟 炸的概率。上述方法也可以用幾何方式表達。? 零和對策的解法零和對策的解法? 矩陣對策的線性規(guī)劃法矩陣對策的線性規(guī)劃法A方 選擇 混合策略 的目的是使得其中 ej為 只有第 j個分量 為 1而其余分量均 為 零的向量， Ej = XTRej。本年初，一個全國知名的大部分。根據(jù)市場預(yù)測。例 現(xiàn) 有一 對 策 問題 ，雙方 獲 利情況 見 表 。不 難 看出，依靠 單 方面的努力不一定能收到良好的效果。怎 樣建立一個 “公平 ”的分配原 則 是一個 較為 困 難 的 問題 ，將在第九章中介 紹。美 軍 第三 軍 也開到了 Avranches的南部，雙方 軍隊 所 處 的地理位置如 圖 。Bradley將 軍 有三種可供 選擇 的策略：他可以命令后 備軍 原地待命，當(dāng)海峽形 勢 危急 時 支援第一 軍 或出 擊東 部 敵人，以減 輕 第一 軍 的 壓 力。 SA、 SB構(gòu)成六種 純 局 勢 ， 綜 合雙方 實 力，各種局 勢 估 計結(jié) 果如下。如不需增援，后 備軍 可 東進繞 行到德 軍 后方。（ 5）（ 2, 2），美后 備軍東進給 德 軍東 撤造成 壓 力并挫 傷 德 軍 ，使美 軍擊敗德 軍 的可能性增大到 。上述分析估 計 是由 Bradley將 軍 作出的，據(jù)此構(gòu)造出 A方 贏 得矩 陣這 是一個 32對 策矩 陣 。易 見 ，若一個 對 策矩 陣 的第 i行 優(yōu) 于第 k行， 則 無 論 局中人 B選擇 哪種策略，局中人 A采取策略 i的 獲 利 總優(yōu) 于（至少不次于）采取策略 k的 獲 利?，F(xiàn) 在回 過 來 討論 美、德 軍隊對 策 問題 。由于兩 軍 作 戰(zhàn) 并非可以反復(fù) 進 行的 對 策 問題 ，看來最大的可能是美 軍采取策略 3而德 軍 采取策略 2，即美方后 備軍 待命而德 軍 第九 軍東撤。 例 （防坦克地雷 場 的布 設(shè) ） 實戰(zhàn) 中，攻方 為 了增 強 攻 擊 力，大量使用攻 擊 力 強 、防御 堅 固的坦克；守方 為 了抵御 對 方攻 擊 ，需要大量殺傷敵 方的有生力量，有效 對 策之一是布 設(shè) 防坦克地雷 場 。假 設(shè) ：（ 1）防坦克地雷數(shù)量有限；（ 2）通 過偵 察、分析，已知 敵 方可能采用 … 、 n種 進 攻策略之一；（ 3）通 過敵 情分析，確定了防御正面的 寬 度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量， 設(shè)計 了 1, 2,…, m這 m種布雷方案。 對 守方來 講 ，布雷密度通常可分成 ,1,2等有限個等 級 。由效率 評定 試驗 可得出在各種布雷密度下的 殺傷 率表，如表 。守方 設(shè)計 了三種布雷方案 1, 2, 3,（ 圖 ）， 試 求守方的 贏 得矩 陣 和最 優(yōu) 策略。守方只有 2023個防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如 圖 ， 試 求守方采用何種布雷方案 較 好。策略的 設(shè)計 并沒有包含在決策 問題 的求解中，事 實 上，僅 當(dāng)策略 設(shè)計 完成后，即策略集合 給 定后，決策 問題 才被 給 定，從而才能被求解，因而，在用 對 策 論 方法研究 實際課題時 ， 應(yīng) 當(dāng)特 別 注意策略的 設(shè)計 。此 時 ，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即 選擇 出最佳的行 動 方案， 這樣 的 問題 稱 為 決策 問題 。 不確定環(huán)境下的決策 決策者面臨的決策環(huán)境由一些自然狀態(tài)組成，決策者可以采取若干決策方案，每一種決策方案在不同的自然狀態(tài)下出現(xiàn)的結(jié)果是已知的，但決策者 不能預(yù)先估計 各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的 概率 。不同的生產(chǎn)批量在不同的市場銷售情況下企業(yè)的收益如下表：收益（萬元） 需求大N1需求中N2需求小N3 MinMax(min)大批量（ S1） 500 300 250 250100中批量（ S2） 300 200 80 80小批量（ S3） 200 150 100 100*按照這個準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是小批量生產(chǎn)收益（萬元） 需求大N1需求中N2需求小N3 MaxMax(max)大批量（ S1） 500 300 － 250500*500中批量（ S2） 3