20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)22空間向量的運算-wenkub
2022-11-27 23:22:26 本頁面
【正文】 A B D , △ B C D 均為正三角形 ,故 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 兩兩之間的夾角均為π3,再用數(shù)量積的定義求解即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 : ( 1 ) 在空間四邊形 A B C D 中 , | ?? ?? | = | ?? ?? | = | ?? ?? | = a , 所以 ?? ?? , ?? ?? =π3. 所以 ?? ?? ?? ?? 。 a =| a |2. ② 數(shù)量積是數(shù)量 ( 數(shù)值 ), 可以為正 ,可以為負 ,也可以為零 . ③ a ② ( A A1 + A1D1 ) + D1C1 = A D1 + D1C1 = A C1 。如果兩個向量的夾角為鈍角 ,則異面直線所成的角為兩個向量 的夾角的補角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 向量的加法、減法運算 1 .空間向量的加、減運算方法 : ( 1 ) 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則 ,同平面向量相同 ,封閉圖形、首尾連接的向量的和為 0 . ( 2 ) 化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則 ,遇到減法時既可轉(zhuǎn)化成加法 ,也可按減法法則進行運算 ,加減法之間可以相互轉(zhuǎn)化 .表達式中各向量的系數(shù)相等時 ,根據(jù)數(shù)乘分配律 ,可以把相同的系數(shù)提到括號外面 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 2 .利用向量加、減法運算解決立體幾何中的問題的一般思路 : 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 1 】 如圖所示 , 在正方體 AB C D A1B1C1D1中 , 下列各式中運算的結(jié)果為向量 A C1 的有 ( ) ① ( AB + BC ) + C C1 。 ?? + 2 ?? 2 ?? a =| a || a | co s 0176。 c ,不能得出 b = c ,即向量不能約分 . ( 2 ) 若 a 167。b =k ,不能得出 a =????或 b =????,即向量不能進行除法運算 . ( 3 ) 對于三個不為 0 的向量 ,( a = |a |2,所以向量 a 的模 | a |= ??2.這個公式可用來求空間中線段的長度 .將其推廣為 : | a 177。 ?? + ??2。 ?? . ( 2 ) 利用兩個向量的夾角為π2,判斷空間兩條直線垂直是向量在立體幾何中的重要應(yīng)用之一 . ( 3 ) 根據(jù)空間兩個向量的數(shù)量積的定義 : a ② ( A A1 + A1D1 ) + D1C1 。 ③ ( AB + B B1 ) + B1C1 = A B1 + B1C1 = A C1 。 b 的幾何意義 : a 與 b 的數(shù)量積等于 a 的長度 | a |與 b 在 a 的方向上的投影 | b | co s θ 的乘積 ,或 b 的長度 | b |與 a 在 b 的方向上的投影 | a | c o s θ 的乘積 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 4 】 如圖 , 已知空間四邊形 A B C D的每條邊和對角線長都等于 a , 點 E , F , G 分別是AB , A D , DC 的中點 . 求下列向量的數(shù)量積 : ( 1 ) ?? ?? ( 3 ) ?? ?? ?? ?? =a ?? ?? =12a2co s π3=14a2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 求兩個向量的數(shù)量積時 ,一般要保證向量之間的夾角已知或可求 ,最好是特殊角 ,然后利用定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 利用數(shù)量積求兩點間的距離 利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離 ,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題 ,其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量 ,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式 ,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以 及它們的模 ,利用公式| a |= ?? ,∴ ?? ?? 或 1 2 0 176。 ?? ?? = ?? ?? 2+ ?? ?? 2+ ?? ?? 2+ 2 ?? ?? , ∠ OA B = 60176。 ?? ?? =| ?? ?? | co s ?? ?? , ?? ?? = 8 4 co s 1 3 5 176。 的二面角 α AB β 中 , AC ? α , BD ? β , 且AC ⊥ AB , BD ⊥ AB , 垂足分別為 A , B. 已知 A C = A B = B D= 6 , 求線段 CD 的長 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 錯 解 : ∵ AC ⊥ AB , BD ⊥ AB , ∴ ?? ?? . ∴ CD2= ?? ?? 2= ( ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? )2= ??
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