初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制-wenkub
2023-01-17 20:04:00 本頁面
【正文】 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 核軍備競賽 ? 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。設(shè)交換前甲占有 X的數(shù)量為 x0, 乙占有 Y的數(shù)量為 y0, 作圖： 若不考慮雙方對 X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 x, y0 y) x y yo 0 xo ? ? 實(shí)物交換 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 (x1,y1)與占有 (x2,y2)具有同樣的滿意程度，即 p1, p2對甲是無差別的， M N 將 所有與 p1, p2無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條 無差別曲線 MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同 , 線的形狀反映對 X,Y的偏愛程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比 MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如 p3，在另一條無差別曲線 M1N1上。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。 ? 實(shí)現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “ 2秒準(zhǔn)則” ： ? 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志 ， 而不管車速如何 判斷 “ 2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣； 建立數(shù)學(xué)模型 ， 尋求更好的駕駛規(guī)則 。 2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流 T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 dTkQ ??Q1 Q2 Q ~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量 ?T~溫差 , d~材料厚度 , k~熱傳導(dǎo)系數(shù) 雙層玻璃窗的功效 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q1 Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) dTTklTTkdTTkQ bbaa 212111??????dlhkkhssdTTkQ ????? ,)2( 212111建模 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q2 dTTkQ22112??2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 dlhkkhssQ ???? ,22212121 ?k1=4?103 ~8 ?103, k2=?104, k1/k2=16 ~32 對 Q1比 Q2的減少量作最保守的估計(jì)， 取 k1/k2 =16 dlhhQ ??? ,18121)2(2111 ???sdTTkQ建模 h Q1/Q2 4 2 0 6 模型應(yīng)用 取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2= 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少 97%的熱量損失。 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理 主動輪 壓輪 0000 左輪盤 右輪盤 磁頭 計(jì)數(shù)器 錄像帶 錄像帶運(yùn)動方向 錄像帶運(yùn)動 右輪盤半徑增大 右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù) 錄像帶運(yùn)動速度是常數(shù) 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長變慢 問題分析 觀察 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！ 模型假設(shè) ? 錄像帶的運(yùn)動速度是常數(shù) v ； ? 計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； ? 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； ? 空右輪盤半徑記作 r ； ? 時間 t=0 時讀數(shù) n=0 . 建模目的 建立 時間 t與讀數(shù) n之間的關(guān)系 （設(shè) v,k,w ,r為已知參數(shù)） 模型建立 建立 t與 n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1. 右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為 r+wi, m圈的總長度 等于錄像帶在時間 t內(nèi)移動的長度 vt, 所以 knm ?nvrknvwkt ?? 222 ??????mivtwir1)(2 ?2. 考察右輪盤面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過的長度，即 wvtrwknr ??? ])[(22?nvrknvwkt ?? 222 ??3. 考察 t到 t+dt錄像帶在 右輪盤纏繞的長度，有 vdtkdnwknr ?? ?2)(??模型建立 思 考 nvrknvwkt ?? 222 ??3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細(xì)推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。 比例加慣例 對丙系公平嗎 （ ）甲 乙 .5 丙 .0 （ ）甲 10 乙 6 丙 4 5 11 7 3 “公平”分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù) 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 當(dāng) p1/n1= p2/n2 時，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 對 A的絕對不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者對 A的 不公平程度已大大降低 ! 雖二者 的絕對不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ， 對 不公平 A p1/n1– p2/n2=5 公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小 設(shè) A, B已分別有 n1, n2 席，若增加 1席，問應(yīng)分給 A, 還是 B 不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ， 即對 A不公平 ),(///21222211 nnrnpnpnpA??~ 對 A的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量 類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配 , 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ， 定義 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給 A 2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 3）若 p1/n1 p2/(n2+1)， 應(yīng)計(jì)算 rB(n1+1, n2) 應(yīng)計(jì)算 rA(n1, n2+1) 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 應(yīng)討論以下幾種情況 初始 p1/n1 p2/n2 問： p1/n1p2/(n2+1) 是否會出現(xiàn)？ A 否 ! 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B 當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給 A rA, rB的定義 )1()1( 11212222??? nnpnnp該席給 A 否則 , 該席給 B ,2,1,)1(2??? innpQiiii 定義 該席給 Q值較大的一方 推廣到 m方分配席位 該席給 Q值最大的一方 Q 值方法 minnpQiiii ,2,1,)1(2????計(jì)算 ， 三系用 Q值方法重新分配 21個席位
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