【正文】 小，人口年齡構(gòu)成情況，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低，各民族的風(fēng)俗習(xí)慣，自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口遷移等。 k 奇 , 左下移 。 44 第一次渡河： )3,3(1s?????????)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(11111ddddd??????????)3,1()1,3()2,2()2,3()3,2(22222sssss不可行可行可行可行不可行——————————45 第二次渡河： 對(duì)于 d1(0, 1) 由此可見(jiàn)，應(yīng)排除單人渡河的方案。 用 dk(x, y) 表示狀態(tài) sk(x, y) 下的決策， dk ? D。 x = y = 1, 2} 此岸 彼岸 河 小船 (至多 2人 ) 42 狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。 河 小船 (至多 2人 ) 此岸 彼岸 41 模型假設(shè) 記渡河過(guò)程中 此岸的商人數(shù) 為 x， 隨從數(shù) 為 y， x, y = 0, 1, 2, 3 此岸的狀態(tài) 可用向量 (x, y) 表示， 共有 16 種可能的狀態(tài) 對(duì)商人安全的狀態(tài)： (3, y) (其中 y = 0, 1, 2, 3)， 表示商人全在此岸； (0, y) (其中 y = 0, 1, 2, 3)， 表示商人全在對(duì)岸； (x, y) (其中 x = y = 1, 2)， 表示兩岸商人和隨從一樣多。 但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。 兩腳與地面距離之和 記為 g(?) 兩個(gè)距離 ? 椅腳與地面距離為零 距離是 ? 的函數(shù) 正方形 ABCD 繞 O點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 正方形對(duì)稱性 x B A D C O y 37 f(?), g(?)是 連續(xù)函數(shù) 對(duì)任意 ?， f(?)、 g(?) 中至少有一個(gè)為 0， 即有 f(?) ? g(?) = 0. 數(shù)學(xué)問(wèn)題 已知： f(?), g(?) 是 連續(xù)函數(shù)； 對(duì)任意 ?， f(?) ? g(?) = 0； 且 g(0) = 0， f(0) 0. 證明：存在 ?0，使 f(?0) = g(?0) = 0. 地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位臵至少三只腳著地 f(?) = g(?) = 0. 四只腳著地 38 模型求解 給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法 將椅子逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 90?，對(duì)角線 AC和 BD互換。 用 ?（ 對(duì)角線與 x 軸的夾角 ）表示椅子位臵 四只腳著地 四個(gè)距離(四只腳 ) A39。 C39。 一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步。 它或者能解釋特定事物現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)；或者能預(yù)測(cè)特定對(duì)象的將來(lái)的性態(tài)；或者能提供處理特定對(duì)象的最優(yōu)決策或控制等等，最終達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的。 航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 30 數(shù)學(xué)模型或模型 (Mathematical Model) 對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè) 特定對(duì)象 ，為了一個(gè) 特定目的 ，根據(jù)其特有的 內(nèi)在規(guī)律 ，做出一些必要的 簡(jiǎn)化假設(shè) ，運(yùn)用適當(dāng)?shù)?數(shù)學(xué)工具 ，得到的一個(gè) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 。 地圖、電路圖、建筑圖、分子結(jié)構(gòu)圖、 … … 27 數(shù)學(xué)模型 由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。 玩具、照片、沙盤、火箭模型、 … … 物理模型 主要指科技工作者為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型。 一個(gè)原型，為了不同的目的可以有多種不同的模型。 事物或系統(tǒng)總是處于運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，如何把握它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的規(guī)律性，是研究事物或系統(tǒng)的根本問(wèn)題。 如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。 內(nèi)容的趣味性： 有些問(wèn)題就象是做游戲，引人入勝。 由于新技術(shù)特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的實(shí)際問(wèn)題需要用計(jì)算機(jī)來(lái)解決，而計(jì)算機(jī)與實(shí)際問(wèn)題之間需要用數(shù)學(xué)模型來(lái)溝通。數(shù)學(xué)模型 Mathematical Model 盧 力 School of Software Engineering 2 現(xiàn)狀 數(shù)學(xué)建模是一門新興的學(xué)科， 20世紀(jì) 70年代初誕生于英、美等現(xiàn)代工業(yè)國(guó)家。 社會(huì)對(duì)大學(xué)生的要求越來(lái)越高 ，大學(xué)生畢業(yè)后要適應(yīng)社會(huì)的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價(jià)值。 教法的多樣性： 教師講授方式，小組討論方式，學(xué)生報(bào)告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。 又如鋼鐵冶煉過(guò)程、導(dǎo)彈飛行過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、污染擴(kuò)散過(guò)程、生產(chǎn)銷售過(guò)程、計(jì)劃決策過(guò)程等。 原型與模型 24 把“現(xiàn)實(shí)對(duì)象”、“實(shí)際問(wèn)題”、“研究對(duì)象”以及“系統(tǒng)”等都稱為事物的原型。 如放在展廳里的飛機(jī)模型應(yīng)該在外形上逼真，但不一定能飛；而參加航模競(jìng)賽的模型飛機(jī)要具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求； 在飛機(jī)設(shè)計(jì)、試制過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬，則只要求在數(shù)量規(guī)律上真實(shí)反映飛機(jī)的飛行動(dòng)態(tài)特性，毫不涉及飛機(jī)的實(shí)體。 不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究原型的某些規(guī)律。 計(jì)算機(jī)模擬 計(jì)算機(jī)模擬或者計(jì)算機(jī)模型是用來(lái)模擬一個(gè)特定系統(tǒng)抽象模型的計(jì)算機(jī)程序。 數(shù)學(xué)模型不是原型的復(fù)制品，而是為一定的目的對(duì)原型所作的一種抽象模擬。 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模 31 數(shù)學(xué)建?；蚪? (Mathematical Modeling) 建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）。 ——馬克思 33 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 ? 分析與設(shè)計(jì) ? 預(yù)報(bào)與決策 ? 控制與優(yōu)化 ? 規(guī)劃與管理 數(shù)學(xué)建模 計(jì)算機(jī)技術(shù) 知識(shí)經(jīng)濟(jì) 如虎添翼 34 數(shù)學(xué)建模示例 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 ? 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河 ? 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng) ? 35 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？ 問(wèn)題 ?將四條腿一樣長(zhǎng)的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地，即放穩(wěn)？ 模型假設(shè) ?地面為連續(xù)曲面（無(wú)臺(tái)階等）； ?只要有一點(diǎn)著地就視為椅腳已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點(diǎn)接觸； ?地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位臵至少三只腳同時(shí)著地； ?椅子的中心不動(dòng)。 B39。, C39。 由 g(0) = 0， f(0) 0，知 f(?/2) = 0， g(?/2) 0. 令 h(?) = f(?) – g(?)， 則 h(0) 0 和 h(?/2) 0. 由 f, g 的連續(xù)性知 h 為連續(xù)函數(shù) , 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理， 必存在 ?0?(0, ?/2)， 使 h(?0) = 0， 即 f(?0) = g(?0). 因?yàn)閷?duì)任意 ?， f(?) ? g(?) = 0，所以 f(?0) = g(?0) = 0. 評(píng)注和思考 建模的關(guān)鍵： 椅子的位臵變量 ? 及距離函數(shù) f(?)、 g(?) 正方形的對(duì)稱性及旋轉(zhuǎn) 90? 不是關(guān)鍵。 河 小船 (至多 2人 ) 試為商人們制定一個(gè)安全渡河的方案。 這些狀態(tài)的集合稱為 允許狀態(tài)集合 ，記做 S。 擺一次渡就可以改變現(xiàn)有狀態(tài)，這種狀態(tài)運(yùn)算正是要選擇的策略，也稱為 決策 ，用向量 (u, v) 表示，即 u 名商人和 v 名隨從乘船。 43 因?yàn)? k 為奇數(shù)時(shí)，小船離開(kāi)此岸； k 為偶數(shù)，到達(dá)此岸，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足下列關(guān)系： sk+1 = sk + (1)kdk . 多步?jīng)Q策問(wèn)題： 求決策 dk ? D (k = 1, 2, ?, n)，使?fàn)顟B(tài) sk ? S， 并 按 轉(zhuǎn)移律 由 s1(3, 3) 到達(dá)