高考數(shù)學(xué)必考直線和圓錐曲線經(jīng)典題型含詳解-wenkub
2023-05-02 12:45:25 本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則＝. =＝=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得＝又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。當(dāng)時(shí)，綜上所述。由已知，得。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為?？傊畬?shí)數(shù)的取值范圍是。例題設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過(guò)橢圓的中心O，且，如圖。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PAPA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0, 設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0)，代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k22=0∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F， ∴方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)， 則x1+x1= ∴AB垂直平分線NG的方程為 令y=0，得 ∵∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。則線段AB的中點(diǎn)為。運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)。二、過(guò)定點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）若定點(diǎn)P在雙曲線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點(diǎn)P在雙曲線外且不在漸近線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點(diǎn)P在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；（5）若定點(diǎn)P在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。常見(jiàn)的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓過(guò)動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題弦的垂直平分線問(wèn)題和對(duì)稱問(wèn)題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。分析：第一問(wèn)求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問(wèn)，過(guò)定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。例題已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(2,0),A2(2,0)。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。分析：第一問(wèn)，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過(guò)定點(diǎn)，就是通過(guò)垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出來(lái)。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值．分析：（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。（Ⅱ）設(shè)。
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