【正文】 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 2020011239 指導(dǎo)教師： 職稱： 副教授 論文（設(shè)計(jì)）研究目標(biāo)及主要任務(wù) 本文對(duì) 比較法、分析綜合法、反證法、放縮法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法等較常見的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)， 意在引發(fā)我們對(duì)不等式證明方法及其他問(wèn)題證明方法的注意和思考，以致對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，并 希望能為讀者全面系統(tǒng)的總結(jié)不等式證明方法提供幫助和借鑒。 主要參考文獻(xiàn) [1]匡繼昌 .常用不等式 [M].濟(jì)南：山東科技出版社， 2020： 2334. [2]李長(zhǎng)明，周煥 山 .初等數(shù)學(xué)研究 [M].北京：高等教育出版社， 1995:252263. [3]葉惠萍 .反思性教學(xué)設(shè)計(jì) 不等式證明綜合法 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究， 2020,10(3):8991. [4]胡炳生，吳俊 .現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué) [M].北京：高等教育出版社， 1998:4550. [5]Gao Mingzhe. On Heisenberg’s Inequality[J]. .,1999,234(2):727734. 計(jì)劃進(jìn)度 階段 起止日期 1 畢業(yè)論文背景調(diào)查及資料收集 2020/12/202020/3/10 2 完成論文開題報(bào)告 2020/3/112020/3/20 3 完成論文初稿并提交 2020/3/212020/3/31 4 論文初稿修改并提交 2020/4/12020/4/20 5 畢業(yè)論文定稿及答辯準(zhǔn)備 2020/4/212020/5/20 指導(dǎo)教師 : 年 月 日 教研室主任 : 年 月 日 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告書 數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 2020 屆 學(xué)生 姓名 論文（設(shè)計(jì)）題目 關(guān)于不等式證明方法的探討 指導(dǎo) 教師 專業(yè) 職稱 副教授 所屬教研室 學(xué)科教研室 研究方向 數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)建模教育 課題論證： 見附頁(yè) 1. 方案設(shè)計(jì)： 首先，介紹不等式的應(yīng)用價(jià)值以及其證明方法在現(xiàn)實(shí)生活和教育教學(xué)工作中的重要性，不等式及其證明方法發(fā)展的 現(xiàn)狀和教師與學(xué)生們對(duì)于它們存在和面臨問(wèn)題，并提出自己的建議和意見。在現(xiàn)實(shí)日常生活中，不等式的應(yīng)用是非常普遍的應(yīng)用在社會(huì)生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面的應(yīng)用，例如，經(jīng)常面臨的采購(gòu)批發(fā)方案設(shè)計(jì)，房屋租賃方案設(shè)計(jì)，消費(fèi)娛樂(lè)方案設(shè)計(jì)等。在此基礎(chǔ)上，由特殊到一般，就迫切要求我們進(jìn)一步更加細(xì)致周密廣泛普及的總結(jié)更多的更廣泛統(tǒng)一性證法。然而，萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹一幟。 不等式的研究文獻(xiàn)中，一個(gè)常見的現(xiàn)象是，許多基本重要而又十分重要的不等式，經(jīng)過(guò)多次拓廣后其結(jié)構(gòu)形式往往會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，以致失去了由簡(jiǎn)單性和對(duì)稱性來(lái)保證的優(yōu)美性。以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。如今，各種不等式的新證明方法層出不窮，在這種形式下，迫切需要對(duì)他們的類別和通用過(guò)程做出總結(jié)歸納，以保證他們的規(guī)范性，減輕使用它們的繁瑣性。所以不等式的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)正確應(yīng)用不等式的性質(zhì)，提高解體和歸納能力，學(xué)生需重點(diǎn)掌握的證明方法比如比較法、分析綜合法、數(shù)學(xué)歸納法，它們是不等式證明的最基本、最常用的方法。這種情況下，可以從一個(gè)事實(shí)，即一個(gè)實(shí)數(shù)的平方總是正的，并從基本情況 ? ?2 222a b a a b b? ? ? ?二項(xiàng)式公式可以看出 ? ? ? ?22220 2 4x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ?，同樣的， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) xy? 。在這種最簡(jiǎn)單的情況下， AM GM? 不等式的就能寫成 2 2 4x y xy?? ，這就意味著只有在所成區(qū)域是正方形的情況下才能使面積不變的矩形的周長(zhǎng)最小。記作 1 2 3 nm x x x xA n? ? ?? ， 并且當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 3 nx x x x? ? ? 時(shí)，等號(hào)成立。相似的，124 xx 是與此矩形具有相同面積的正方形的周長(zhǎng)。我們假設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)處的這 n 條 邊的長(zhǎng)度分別為 12, , , nx x x ，那么 12 nx x x? ? ? 就是鏈接到這個(gè)頂點(diǎn)的 n個(gè) 邊的總長(zhǎng)度。 這樣，我們就得出了每種長(zhǎng)度的邊有 12n? 條和這個(gè) n 維盒子的 邊長(zhǎng)總和為 ? ?1 122 n nx x x? ? ? ?。 應(yīng)用舉例： 考 慮 函 數(shù) ： ? ? 3, x y zf x y zy z x? ? ?；對(duì)于所有正實(shí)數(shù) x y z， 和 。 所有的滿足這些條件的點(diǎn) ,xyz（ ） 都分布在一個(gè)開始于原點(diǎn)的半行內(nèi)，并表示如下： 3 33( , , ) , 2 3 , 0 .2()x y z x x x x?? ， （ ） 在金融數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的實(shí)際應(yīng)用是計(jì)算回報(bào)率：年化回報(bào)率，由幾何平均計(jì)算得到，會(huì)低于平均年度回報(bào) 率，由算術(shù)平均值計(jì)算得到（當(dāng)且僅當(dāng)所有的回都是相等的時(shí)候他們就會(huì)就會(huì)相等）?？紤]長(zhǎng)度和所需的先決條件，通過(guò)誘導(dǎo)初等證明下面給出的可能是進(jìn)行首讀的最好的建議。因此，我們從來(lái)沒有真正得到涉及三個(gè)相等的數(shù)字幾何平均不等式。 然而以下的證明我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和唯一一個(gè)著名的運(yùn)算規(guī)則。如果所有的 kx 是相等的，那么等式成立。 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文翻譯原文 Inequality of arithmetic and geometric means . 1986. Geometric Inequalities In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of nonnegative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list。 using Jensen39。 = xn. Geometric interpretation In two dimensions, 2x1 + 2x2 is the perimeter of a rectangle with sides of length x1 and x2. Similarly, 4√x1x2 is the perimeter of a square with the samearea. Thus for n = 2 the AM–GM inequality states that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area. The full inequality is an extension of this idea to n dimensions. Every vertex of an ndimensional box is connected to n edges. If these edges39。 + xn is the total length of edges incident to the vertex. There are 2n vertices, so we multiply this by 2n。 = xn. Thus the AM–GM inequality states that only the ncube has the smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst all ndimensional boxes with the same volume.[1] Example application Consider the function 3( , , ) x y zf x y z y z x? ? ? for all positive real numbers x, y and z. Suppose we wish to find the minimal value of this function. First we rewrite it a bit: 3331 2 3 4 5 61 1 1 1 12 2 3 3 3( , , ) 666 6x y y z z zy z z x x xf x y zx x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ??? with 31 2 3 4 5 611, , .23x y zx x x x x xy z x? ? ? ? ? ? Applying the AM–GM inequality for n = 6, we get 333662 / 3 1 / 21 1 1 1 1( , , ) 62 2 3 3 3162 2 3 3 32 3 .x y y z z zf x y zy z z x x xx y zy z x? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? Further, we know that the two sides are equal exactly when all the terms of the mean are equal: 2 / 3 1 / 2 311( , , ) 2 3 w h e n .23x y zf x y z y z x? ? ? ? All the points (x, y, z) satisfying these conditions lie on a halfline starting at the origin and are given by 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 3 33( , , ) , 2 3 , w i t h 0 .2()x y z x x x x?? Practical applications An important practical application in financial mathematics is to puting the rate of return: the annualized return, puted via the geometric mean, is less than the average annual return, puted by the arithmetic mean (or equal if all returns are equal). This is important in analyzing investments, as the average return overstates the cumulative effect. Proofs of the AM–GM inequality There are several ways to prove the AM–GM inequality。然而，對(duì)一些不等式的證明又為我們?cè)谏钪欣貌坏仁教峁┝擞辛ψC據(jù)。在教學(xué)生活中，不等式及其證明是教師們的重頭戲，是學(xué)生們的老大難，因此在本文中， 我 總 結(jié) 了 比 較 法 、分 析 綜 合 法 反 正 法 、放 縮 法 、 換 元 法 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 、 判 別 式 法、函數(shù)單調(diào)性法、 幾何證法、面積體積比較法、極值法等常見證明方法，期望能對(duì)讀者們 邏 輯 推 理 能 力、 抽 象 思 維 和 思 維 能 力 的 增 強(qiáng) 起 到 一 些 作 用 ，并 希 望 能 為 他 們 進(jìn) 行 更 深 層 次 更 高 境 界 的 總 結(jié) 提 供 幫 助 和 借 鑒。 在研究不等式各個(gè)內(nèi)容（如 不等式性質(zhì)、解法和證明方法） 的進(jìn)程中，但在此性質(zhì)和解法就不做探討了，而主要探討了不等式的證明中使用的一些常用方法 ,如上文中所列。因此，上世紀(jì)末新世紀(jì)初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和開拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。 對(duì) 此 ， 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 界 的 普 遍 觀 點(diǎn) 是 ， 如 果 拓 廣 后 沒 有增 加 新 的 應(yīng) 用 面 ， 則 這 些 結(jié) 果 雖 然 也 能 夠 在 一 些 刊 物 上 發(fā) 表 出 來(lái) ， 但 其 真 正 價(jià) 值 價(jià) 值 并 不大 。但是，萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹一幟。 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 5 2 常用證明方法 萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹一幟。一般情