【正文】
負(fù)面結(jié)果一一探討,明確如惟一、非正、大于等詞語的否定式,( 2)經(jīng)常是在直接的結(jié)論與允許的條件之間的關(guān)系和線索不明顯的情況下應(yīng)用, ( 3) 在 應(yīng) 用 反 證 法 證 明 不 等 式 時(shí) 候 , 必 需 得 使 用 到 第 一 步 的“ 否定假設(shè) ” , 不 然 就 不 能 叫 反 證 法。 常見類型: ( 1) 添舍法:可加上或刪除待證不等式的一個(gè)或幾個(gè)項(xiàng),如果待證不等式兩側(cè)出現(xiàn)分式,那么可嘗試適當(dāng)將分子或分母進(jìn)行此操作,若出現(xiàn)開方,則可在被開方數(shù)上做文章,最終目的都是為了簡(jiǎn)化清晰待證不等式,明確證明思路, ( 2) 列項(xiàng)法:經(jīng)常是經(jīng)過不等式兩側(cè)首尾相減或隔項(xiàng)相減,使不等式一側(cè)變形為一個(gè)特殊函數(shù),再利用此函數(shù)的單調(diào)性或有界性進(jìn)行證明過程, ( 3) 公式法: 經(jīng) 常 是 根 據(jù) 待 證 兩 側(cè) 的 結(jié) 構(gòu), 從 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 9 中 套 入 一 些 相 關(guān) 公 式 、 定 理 或 推 論 , 如2a b ab?? 、 a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? 等 實(shí) 行 放 縮 , 達(dá) 到 是 簡(jiǎn) 化 證 明 過 程 的 效 果 。 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? , , , ,12: , , , 0 ,1234。換元經(jīng)常能起到變艱巨為簡(jiǎn)易、除云解霧 使不等式的證明更容易 的作用,其經(jīng)常是在證明條件不等式的過程中使用。 ( 5) 均值換元法: 當(dāng)類似于 2x y K?? 的前提式子出現(xiàn)在已知條件中時(shí),那么可以 令 x K T?? y K T K T?? ( , 是 所 有 實(shí) 數(shù) ),再將其帶入原式進(jìn)行證明,數(shù)學(xué)上把該方法叫做均值換元法。 ( 1) 幾何換元 法 :在證明一些不等式的過程中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們存在一些特殊的幾何背景,這個(gè)時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)分析其幾何背景, 將其代數(shù)關(guān)系和相關(guān)幾何形狀的性質(zhì)組合,找到可換元部分,將問題切入到數(shù)形結(jié)合的情境中去,會(huì)使問題更加顯現(xiàn)一些。 注: 此題根據(jù)分式不等式結(jié)構(gòu)對(duì)各分式的分母正確合理地使用了分式放縮。2 ! 3 ! 4 ! n ! 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 2 。 ()0 0 .a b c a b b c c a a b c a b ca a b c b ca b c b c aa b b c c a a b c b ca a b cabc? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????已 知 , , , 求 證 :證 明 : 假 設(shè) , 則 , 又 由 , 則 ,這 與 題 設(shè) 矛 盾 ;若 , 則 與 矛 盾 ;必 有同 理 可 證 : , 例 4 . 此 為 逐 個(gè) 假 設(shè) 不 成 立“ 都 ” 或 “ 且 ” 命 題 例 : ? ? 2f x x px q? ? ? ,求證: ? ? ? ? ? ?1 2 3f f f、 、 中至少有一個(gè)不小于 12 。0 2 , 2 2 ( x y ) ,22( ) ( x y ) ,222,2x y y z z x x y za b ab a bx y x y x y x y x y x yx y x y x yy z y z z x z xx y y z z x x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 已 知 : 、 、 證 明 :分 析 : 由 本 題 結(jié) 論 聯(lián) 想 到 證 明 : 、同 理 可 證 :? ?? ?z即 原 不 等 式 成 立 。 典型例題討論: ? ?? ?2 2 2 222 2 2 2 2 20 , 0 , 3 4 2 3 23 4 2 3 2 2 0x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??例 1. 若 證 明 :證 明 : ,原 不 等 式 成 立 。采用比較的方法,轉(zhuǎn)折性的一步是要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,如分解,方式,加法和減法,分裂,定理和公式法,和積化差等。然而,眾所周知,我們教育教學(xué)現(xiàn)在面臨的不等式及其證明的現(xiàn)狀是學(xué)生無法掌握變化多樣的不等式證明方法,遇到問題時(shí),不知如何選用合適的方法,這也是一個(gè)很多老師都遇到的一直未成功解決的共性問題。 隨 著 上 世 紀(jì) 70 年 代 以 來, 大量的新型不等式的發(fā)現(xiàn)和對(duì)已知不等式的改進(jìn),以及發(fā)現(xiàn)在 更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用,這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,促使科學(xué)家們不得不開始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。上 70世 紀(jì) 年代以來,由于不等式的改進(jìn)和新型的發(fā)現(xiàn)絡(luò)繹不絕,就 促使著科學(xué)家們對(duì)更多新的證明方法的研究和發(fā)現(xiàn)。 2ab + b2 of the binomial formula: 2222220 ( )224( ) 4 .xyx x y yx x y y x yx y x y??? ? ?? ? ? ?? ? ? In other words (x + y)2 ≥ 4xy, with equality precisely when (x ? y)2 = 0, . x = y. For a geometrical interpretation, consider a rectangle with sides of length x and y, hence it has perimeter 22xy? and area xy. Similarly, a square with all sides of length xy has the perimeter 4xy and the same area as the rectangle. The simplest nontrivial case of the AM–GM inequality implies for the perimeters that 2x + 2y ≥4xy and that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area. The general AM–GM inequality corresponds to the fact that the natural logarithm, which converts multiplication to addition, is a strictly concave function。 因?yàn)橐粋€(gè)變量 kx 當(dāng)他的 ―權(quán) ‖等于零的時(shí)候,他就 有對(duì)不等式不會(huì)產(chǎn)生影響,我們可能會(huì)在以下假定所有的權(quán)重都是正的。例如一種較簡(jiǎn)單的情況 1 2 3x x x??; 平均兩個(gè)不同的號(hào)碼產(chǎn)生 兩個(gè)相等的數(shù)字,但第三個(gè)是仍然不同。即:當(dāng)且僅當(dāng) 31123x y zy z x??時(shí), 2 / 3 1/ 2( , , ) 2 3f x y z ??且為最小值。我們還知道, 跟 ―二維盒子 ‖長(zhǎng)方形、三維盒子長(zhǎng)方體類似, 一個(gè) n 維盒子 有 n 種長(zhǎng)度不同的邊,并且每種長(zhǎng)度的邊的條數(shù)都相等。 幾何解釋: 在兩維空間里, 1222xx? 就是以 12,xx為長(zhǎng)和寬的 矩形的周長(zhǎng)。相似的,一個(gè)邊長(zhǎng)為 xy 正方形有著周長(zhǎng) =4 xy 和 與之前的矩形相同面積。但是,我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)狀是學(xué)生無法掌握變化多樣的不等式證明方法,遇到問題時(shí),不知如何選用合適的方法,這是一個(gè)很多老師都遇到的共性問題。 不等式證明方法的發(fā)展現(xiàn)狀和趨勢(shì) 上世紀(jì)初以前, 在不等式的證明中,除了如 2 0x ? 等及其一般的原理外,統(tǒng)一的方法并不多,而對(duì)同一個(gè)不等式能用幾種方法證明的情況較多,直至 20世紀(jì) 70 年代以來大量新不等式的涌現(xiàn)和原有不等式的改進(jìn),自然伴隨著不等式不等式證明方法的增多。但是,我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)狀是學(xué)生無法掌握變化多樣的不等式證明方法,遇到問題時(shí),不知如何選用合適的方法,這是很多老師和學(xué)生們都遇到的共性問題。 進(jìn)度計(jì)劃: 1 畢業(yè)論文背景調(diào) 查及資料收集 2020/2/152020/3/10 2 完成論文開題報(bào)告 2020/3/112020/3/20 3 完成論文初稿并提交 2020/3/212020/3/31 4 論文初稿修改并提交 2020/4/12020/4/20 5 畢業(yè)論文定稿及答辯準(zhǔn)備 2020/4/212020/5/10 指導(dǎo)教師意見: 指導(dǎo)教師簽名: 年 月 日 教研室意見: 教研室主任簽名: 年 月 日 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 附 1:課題論證 關(guān)于不等式證明方法的探討 不等式是高中數(shù)學(xué)階段一個(gè)極為重要的內(nèi)容,幾乎貫穿與整個(gè)高中數(shù)學(xué)的任何一個(gè)章節(jié),是一種應(yīng)用普遍的技巧性工具。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))冊(cè) 學(xué) 院: 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 班 級(jí): 2020 級(jí) B 班 學(xué) 生: 指導(dǎo)教師: 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))任務(wù)書 論文(設(shè)計(jì))題目: 關(guān)于不等式證明方法的探討 學(xué)院: 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí): 2020 級(jí) B 班 學(xué)生姓名: 學(xué)號(hào): 2020011239 指導(dǎo)教師: 職稱: 副教授 論文(設(shè)計(jì))研究目標(biāo)及主要任務(wù) 本文對(duì) 比較法、分析綜合法、反證法、放縮法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法等較常見的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié), 意在引發(fā)我們對(duì)不等式證明方法及其他問題證明方法的注意和思考,以致對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)問題的思考,并 希望能為讀者全面系統(tǒng)的總結(jié)不等式證明方法提供幫助和借鑒。在現(xiàn)實(shí)日常生活中,不等式的應(yīng)用是非常普遍的應(yīng)用在社會(huì)生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面的應(yīng)用,例如,經(jīng)常面臨的采購(gòu)批發(fā)方案設(shè)計(jì),房屋租賃方案設(shè)計(jì),消費(fèi)娛樂方案設(shè)計(jì)等。然而,萬千事物萬變不離其宗,遇事抓住其根本,總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn),舉一反三,必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破,獨(dú)樹一幟。以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用,這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,促使科學(xué)家們不得不開始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。所以不等式的教學(xué)過程中應(yīng)正確應(yīng)用不等式的性質(zhì),提高解體和歸納能力,學(xué)生需重點(diǎn)掌握的證明方法比如比較法、分析綜合法、數(shù)學(xué)歸納法,它們是不等式證明的最基本、最常用的方法。在這種最簡(jiǎn)單的情況下, AM GM? 不等式的就能寫成 2 2 4x y xy?? ,這就意味著只有在所成區(qū)域是正方形的情況下才能使面積不變的矩形的周長(zhǎng)最小。相似的,124 xx 是與此矩形具有相同面積的正方形的周長(zhǎng)。 這樣,我們就得出了每種長(zhǎng)度的邊有 12n? 條和這個(gè) n 維盒子的 邊長(zhǎng)總和為 ? ?1 122 n nx x x? ? ? ?。 所有的滿足這些條件的點(diǎn) ,xyz( ) 都分布在一個(gè)開始于原點(diǎn)的半行內(nèi),并表示如下: 3 33( , , ) , 2 3 , 0 .2()x y z x x x x?? , ( ) 在金融數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的實(shí)際應(yīng)用是計(jì)算回報(bào)率:年化回報(bào)率,由幾何平均計(jì)算得到,會(huì)低于平均年度回報(bào) 率,由算術(shù)平均值計(jì)算得到(當(dāng)且僅當(dāng)所有的回都是相等的時(shí)候他們就會(huì)就會(huì)相等)。因此,我們從來沒有真正得到涉及三個(gè)相等的數(shù)字幾何平均不等式。如果所有的 kx 是相等的,那么等式成立。 using Jensen39。 + xn is the total length of edges incident to the vertex. There are 2n vertices, so we multiply this by 2n。 = xn. Thus the AM–GM inequality states that only the ncube has the smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst all ndimensional boxes with the same volume.[1] Example application Consider the function 3( , , ) x y zf x y z y z x? ? ? for all positive real numbers