數(shù)學(xué)學(xué)年論文畢業(yè)論文：關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論-wenkub
2023-05-19 01:41:41 本頁(yè)面
【正文】 , 試證 :M2 ? ?dxba xf? ? )(( 2 5 證明： 對(duì)任意的 x ∈ [a ， b], 由 許 瓦 茲 不 等 式 , 都有? ?xa dttf ))(( 2= ? ?xa dttf )1).(( 2? dtxa tf? ? ))(( 2 dtxa 12? ? dxba xf? ? ))(( 2dxba?12 =(ba) dxba xf? ? ))(( 2 而 ? ?xa dttf ))(( 2= ))()(( 2afxf ? = )(2 xf 所以 )(2xf ?(ba) dxba xf? ? ))(( 2 上面不等式對(duì)一切 x∈ [a， b]成立，所以 max? )(2 xf , x∈ [a， b] ? ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 即 : M2 ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 積分第一中值定理 : 設(shè) f(x),g(x) 在 [a,b]上連續(xù) ,g(x)在 [a,b]上不變號(hào)，則 ? 存在 y∈ [a， b] ，使：?ba dxxgxf )()( =f(? )?ba dxxg )( 證明過(guò)程參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)。定理得證。 關(guān)鍵詞： 定積分 保序性 中值定理 The discussion about some qualities of the definite integral Abstract: This paper introduces the qualities of keeping order and the first second median theorems, other important qualities and gives some examples to illustrate the application of the qualities. Key words: the definite integral the quality of keeping order the median theorem 1． 引言： 由定積分的保序性可導(dǎo)出嚴(yán)格保序性，積分中值定理的中值號(hào)可在開(kāi)區(qū)間（ a,b）內(nèi)取得。通常的高等數(shù)學(xué)教材將這些內(nèi)容或者省略或者放入習(xí)題，而不加以重視。 例 1 設(shè) f(x) 于 [0, ? ] 連續(xù) ,且 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 試證在 (0,? ) 內(nèi)至少存在兩點(diǎn) ? ,? ,使得 f( ? )=f(? )=0 證明 令 F(t)=?t xdxxf0 sin)( (0≤ t ≤ ? ), 則 F(t) 于 [0, ? ]連續(xù) ,且可導(dǎo) , 由羅爾定理 ,存在 ? ?(0, ? ), 使 Fˊ (? )=0, 3 由于 Fˊ (t) =f(t)sint 所以 f(? )sin ? =0 ,又由 ? ?(0, ? ),所以 sin ? ? 0, 故 f(? )=0 下面證明又有 ? ?(0, ? ),? ? ? , 使 f(? )=0 假設(shè) f(x)于 (0, ? )內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn) ? , 則 f(x)于 (0, ? )及 (? ,? )兩個(gè)區(qū)間內(nèi)符號(hào)必相反 ,否則不可能有 ??0 sin)( xdxxf=0,而 sin(x ? )在 (0, ? )及 (? ,? ) 內(nèi)顯然符號(hào)也相反 ,故 f(x) sin(x ? )于這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)符號(hào)相同 .又 [0, ? ] 連續(xù) ,因此由上述定理可知 ? ?? ??0 )(sin)( dxxxf? 0 (*) 又由于 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 則? ?? ?0 )sin()( dxxxf = ? ?dxxxxf? ?? ??0 s i nc osc oss i n)( =cos ???0 s
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