數(shù)學(xué)學(xué)年論文畢業(yè)論文：關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論(存儲版)
【正文】 x)f(y)| ≤ |xy| 試估計積分 ?10 )( dxxf的值 . 解 : 當(dāng) 0≤ x≤ 1 時 ,|f(x)f(0)| ≤ |x0|=x, 即 |f(x)3|≤ x? 3x≤ f(x) ≤ 3+x ? ? ?10 )3( dxx ≤ ?10 )( dxxf ≤ ? ?10 )3( dxx 有 25 ≤ ?10 )( dxxf ≤ 27 . 例 3 設(shè)函數(shù) f(x)在取間 [0， 1]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)減。 解 所求平均值為 f(y)= xdxsin01 ???= |cos1 x? ?0 =?2 第一中值定理與拉格朗日中值定理（或羅爾定理）之間存在著密切的聯(lián)系。 =f(x。= nf(?n)n1 =f(?n) 因?yàn)??nlim( x。 +1)F(nx。 ) 8 （ 4） 有些命題的證明不僅可以用積分中值定理及拉格朗日定理，還可以由所給出條件用其它方法進(jìn)行證明。 ? , x。 [2] 賈建華 , 王克芬編著 .微積分證明方法初析 , 南開大學(xué)出版社， ，177217。 )=0, 這與 f(x。 | ? 時， f(x)21 f(x。 所以 ??nlim dxfnxnx nx)(1.? ?。 + n1 ? b,令 F(x)= dtfxna nt )(?(na ? x ? nb),則dxfnxnx nx)(1.? ?。 +n1 ]，使 ? ? nxx dttf1. )(。 例 7 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù) ,x。 積分第一中值定理的幾何意義： 若 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 y=f(x)在 [a,b ]上的曲邊梯形面積等于以推論 3 式所示的 f(? ) 為高 ,[a,b]為底的矩形面積，而 ab?1 ?ba dxxf )( 則可理解為 f(x) 在區(qū)間[a,b]上所有函數(shù)的平均值，這是通常有限個算術(shù)平均值的推廣。 例 1 設(shè) f(x) 于 [0, ? ] 連續(xù) ,且 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 試證在 (0,? ) 內(nèi)至少存在兩點(diǎn) ? ,? ,使得 f( ? )=f(? )=0 證明 令 F(t)=?t xdxxf0 sin)( (0≤ t ≤ ? ), 則 F(t) 于 [0, ? ]連續(xù) ,且可導(dǎo) , 由羅爾定理 ,存在 ? ?(0, ? ), 使 Fˊ (? )=0, 3 由于 Fˊ (t) =f(t)sint 所以 f(? )sin ? =0 ,又由 ? ?(0, ? ),所以 sin ? ? 0, 故 f(? )=0 下面證明又有 ? ?(0, ? ),? ? ? , 使 f(? )=0 假設(shè) f(x)于 (0, ? )內(nèi)只有一個零點(diǎn) ? , 則 f(x)于 (0, ? )及 (? ,? )兩個區(qū)間內(nèi)符號必相反 ,否則不可能有 ??0 sin)( xdxxf=0,而 sin(x ? )在 (0, ? )及 (? ,? ) 內(nèi)顯然符號也相反 ,故 f(x) sin(x ? )于這兩個區(qū)間內(nèi)符號相同 .又 [0, ? ] 連續(xù) ,因此由上述定理可知 ? ?? ??0 )(sin)( dxxxf? 0 (*) 又由于 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 則? ?? ?0 )sin()( dxxxf = ? ?dxxxxf? ?? ??0 s i nc osc oss i n)( =cos ???0 sin)( xdxxf sin? ??0 cos)( xdxxf =0,這與 (*) 試矛盾 ,從而 f(x) 在 (0, ? )內(nèi)除 ? 之外必有另一零點(diǎn) ? . 推論 1 （嚴(yán)格保序性） f（ x）， g（ x）在 [a， b]上連續(xù)， f（ x） ≤ g（ x）且 f（ x）不恒等于 g（
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