【正文】 ?ba dxxgxf ))()(( 2? dxxba f )(2? dxxba g )(2? 因?qū)θ我怀?shù) t 有 : ))()(( 2xgxtf ? ? 0 則 ?? dxba xgxtf? ? )()( 2=t2 dxxfba )(2? +2t?ba dxxgxf )()(+ dxxba g )(2?? 0 因此上面關(guān)于 的二次三項(xiàng)式不可能有不同的實(shí)根，故 ?ba dxxgxf ))()(2( 24 dxxba f )(2? dxxba g )(2? ? 0 即 ?ba dxxgxf ))()(( 2? dxxba f )(2? dxxba g )(2? （ 2）由許瓦茲不等式可得：閔 可夫斯基不等式（ Minkowshi） f(x),g(x)都于 [a,b]可積， ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21???ba dxxg )(2 21? ???ba dxxf )(2 21 證明： ??? ?ba dxxgxfxf ))()()(( 2? dxxba f )(2? ?? dxba xgxf? ? )()( 2 ? ? ?dxxgxfxfba? ? )()()(? ???ba dxxf )(2 21 ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21 ? ?dxxgxfxgba )()()( ?? ? ???ba dxxg )(2 21 ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21兩式相加有： ?? dxba xgxf? ? )()( 2? ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21? ???ba dxxf )(2 21+???ba dxxg )(2 21? ? ??? ?ba dxxgxf ))()(( 2 21???ba dxxg )(2 21? ???ba dxxf )(2 21 （ 3） 由許瓦茲不等式可以證明有些關(guān)系式的成立 設(shè) f(x) 在 [a,b] 上連續(xù)可微， |f(x)| 的最大值為 M, 且 f(a)=0, 試證 :M2 ? ?dxba xf? ? )(( 2 5 證明： 對任意的 x ∈ [a ， b], 由 許 瓦 茲 不 等 式 , 都有? ?xa dttf ))(( 2= ? ?xa dttf )1).(( 2? dtxa tf? ? ))(( 2 dtxa 12? ? dxba xf? ? ))(( 2dxba?12 =(ba) dxba xf? ? ))(( 2 而 ? ?xa dttf ))(( 2= ))()(( 2afxf ? = )(2 xf 所以 )(2xf ?(ba) dxba xf? ? ))(( 2 上面不等式對一切 x∈ [a， b]成立，所以 max? )(2 xf , x∈ [a， b] ? ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 即 : M2 ? (ba) dxba xf? ? ))(( 2 積分第一中值定理 : 設(shè) f(x),g(x) 在 [a,b]上連續(xù) ,g(x)在 [a,b]上不變號，則 ? 存在 y∈ [a， b] ，使：?ba dxxgxf )()( =f(? )?ba dxxg )( 證明過程參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著《數(shù)學(xué)分析》上冊。 例 1 設(shè) f(x) 于 [0, ? ] 連續(xù) ,且 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 試證在 (0,? ) 內(nèi)至少存在兩點(diǎn) ? ,? ,使得 f( ? )=f(? )=0 證明 令 F(t)=?t xdxxf0 sin)( (0≤ t ≤ ? ), 則 F(t) 于 [0, ? ]連續(xù) ,且可導(dǎo) , 由羅爾定理 ,存在 ? ?(0, ? ), 使 Fˊ (? )=0, 3 由于 Fˊ (t) =f(t)sint 所以 f(? )sin ? =0 ,又由 ? ?(0, ? ),所以