數(shù)學(xué)學(xué)年論文畢業(yè)論文：關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論(已修改)
2025-06-01 01:41 本頁面
【正文】 1 數(shù)學(xué)分析論文 學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 班級： 09 數(shù)應(yīng) 1 班 姓名： xxx 學(xué)號： xxx 2 關(guān)于定積分一些重要性質(zhì)的討論 摘要： 本文 介 紹改進(jìn)的定積分保序性和第一和第二中值定理 及其它重要性質(zhì) ，并舉例說明其應(yīng)用。 關(guān)鍵詞： 定積分 保序性 中值定理 The discussion about some qualities of the definite integral Abstract: This paper introduces the qualities of keeping order and the first second median theorems, other important qualities and gives some examples to illustrate the application of the qualities. Key words: the definite integral the quality of keeping order the median theorem 1． 引言： 由定積分的保序性可導(dǎo)出嚴(yán)格保序性，積分中值定理的中值號可在開區(qū)間（ a,b）內(nèi)取得。通常的高等數(shù)學(xué)教材將這些內(nèi)容或者省略或者放入習(xí)題，而不加以重視。本文對此類性質(zhì)作介紹，并舉例說明它們在處理習(xí)題過程中的靈活應(yīng)用，而且由此得出的結(jié)論也會加強(qiáng)。 2．定積分重要性質(zhì)及其應(yīng)用 保序性 設(shè) f（ x）在 [a,b]上連續(xù)非負(fù)，且 f（ x）不恒為零，則 ?ba dxxf )(0 證明 若 ?ba dxxf )(=0,由 f(x)的連續(xù)性和非負(fù)性有 : 0≤ ?xa dttf )(≤ ?ba dxxf )(=0 x∈ [a， b]. 從而 ?xa dttf )(≡ 0，即 dxd ?xa dttf )(≡ 0， x∈ [a， b]這與 f（ x）在 [a，b]上不恒為零矛盾。定理得證。 例 1 設(shè) f(x) 于 [0, ? ] 連續(xù) ,且 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 試證在 (0,? ) 內(nèi)至少存在兩點 ? ,? ,使得 f( ? )=f(? )=0 證明 令 F(t)=?t xdxxf0 sin)( (0≤ t ≤ ? ), 則 F(t) 于 [0, ? ]連續(xù) ,且可導(dǎo) , 由羅爾定理 ,存在 ? ?(0, ? ), 使 Fˊ (? )=0, 3 由于 Fˊ (t) =f(t)sint 所以 f(? )sin ? =0 ,又由 ? ?(0, ? ),所以 sin ? ? 0, 故 f(? )=0 下面證明又有 ? ?(0, ? ),? ? ? , 使 f(? )=0 假設(shè) f(x)于 (0, ? )內(nèi)只有一個零點 ? , 則 f(x)于 (0, ? )及 (? ,? )兩個區(qū)間內(nèi)符號必相反 ,否則不可能有 ??0 sin)( xdxxf=0,而 sin(x ? )在 (0, ? )及 (? ,? ) 內(nèi)顯然符號也相反 ,故 f(x) sin(x ? )于這兩個區(qū)間內(nèi)符號相同 .又 [0, ? ] 連續(xù) ,因此由上述定理可知 ? ?? ??0 )(sin)( dxxxf? 0 (*) 又由于 ??0 sin)( xdxxf=??0 cos)( xdxxf=0 則? ?? ?0 )sin()( dxxxf = ? ?dxxxxf? ?? ??0 s i nc osc oss i n)( =cos ???0 sin)( xdxxf sin? ??0 cos)( xdxxf =0,這與 (*)
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